กำหนดให้ AB = CP และ AC = AB + BP

จงพิสูจน์ว่า x = 20°

ให้ AB = a และ BP = b   ⇒   CP = a และ AC = a + b

(1) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABP แนบใน   ⇒   ...

     • AO = BO = OP

     • ∠AOP = 2(∠ABP)   ⇔   ∠AOP = 80°

     • ∠BOP = 2(∠BAP)   ⇔   ∠BOP = 60°

∵ BO = OP และ ∠BOP = 60°   ⇒   ∆BOP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   OP = BP   ⇔   AO = BO = b

(2) ต่อ AB ออกไปยังจุด Q โดยที่ BQ = b   ⇒   ∠PBQ = 140°

∵ BP = BQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 140°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BQP (= ∠BPQ) = 20°

สังเกตว่า ∆BPQ ≅ ∆ABO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = AO, ∠PBQ = ∠AOB, BQ = BO)   ⇒   PQ = AB   ⇔   PQ = a

(3) สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AC = AQ, AP = AP, CP = PQ)   ⇒   ∠CAP = ∠PAQ และ ∠ACP = ∠AQP   ⇔   ∠CAP = 30° และ ∠ACP = 20°

∵ AC = AQ และ ∠CAQ = 60°   ⇒   ∆ACQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠ACQ = 60°   ⇔   ∠PCQ = 40°   ⇔   ∠PCQ + ∠PBQ = 180°   ⇔   ☐BPCQ สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠BCP = ∠BQP   ⇔   x = 20°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า AP + BP = AB + CP

(1) ∠ACB = 100°

(2) กำหนดจุด Q บน BP ที่ทำให้ ∠BAQ = 30°   ⇒   ∠PAQ = 10° และ ∠AQP = 50°

พิจารณา ∆ABC จะเห็นว่า มีจุด Q เป็นจุดภายในที่ทำให้ ∠CAQ = 20°, ∠BAQ = 30°, ∠ABQ = 20° และ ∠CBQ = 10°   ⇒   ∠BCQ = 40° (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์)   ⇔   ∠ACQ = 60°

(3) พิจารณา ∆BCQ จะได้ว่า ∠CQP = 50°

พิจารณา ∆ACQ จะเห็นว่า มีจุด P เป็นจุดภายในที่ทำให้ AP และ PQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠CAQ และ ∠AQC ตามลำดับ   ⇒   จุด P เป็น incenter ของ ∆ACQ   ⇒   CP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ACQ   ⇒   ∠PCQ (= ∠ACP) = (∠ACQ)/2 = 30°

(4) ต่อ AP ออกไปยังจุด R โดยที่ PR = BP   ⇒   ∠BPR = 60°

∵ BP = PR และ ∠BPR = 60°   ⇒   ∆BPR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   BP = BR และ ∠BRP = 60°

(5) ต่อ AB ออกไปยังจุด S โดยที่ AS = AR   ⇔   ∆ARS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 40°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ARS = 70° (⇔ ∠BRS = 10°) และ ∠ASR = 70°

สังเกตว่า ∆BRS ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠BSR = ∠BCP, ∠BRS = ∠CBP, BR = BP)   ⇒   BS = CP

∵ AR = AS   ⇔   AP + PR = AB + BS   ⇔   AP + BP = AB + CP   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า sin20° + sin40° = sin80° โดยใช้วิธีทางเรขาคณิต

(1) สร้าง ∆ABC โดยที่ AB = BC = L และ ∠B = 80°

∴ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BAC = ∠ACB = 50°

(2) สร้าง ∆CDE โดยที่ CD = DE = L, ∠D = 40° และจุด E อยู่บนส่วนต่อขยายของ AC

∴ ∆CDE เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 40°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DCE = ∠CED = 70°

(3) พิจารณาจุด C จะได้ว่า ∠BCD = 60°

∵ BC = CD (= L) และ ∠BCD = 60°   ⇒   ∆BCD เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   BD = L และ ∠CBD = ∠BDC = 60°

(4) กำหนดจุด F ใต้ BD ที่ทำให้ ☐ABDF เป็น ☐ขนมเปียกปูน   ⇒   AF = DF = L, ∠BAF = 40° (⇔ ∠EAF = 10°) และ ∠BDF = 40° (⇔ ∠CDF = 20°)

(5) สังเกตว่า DE = DF (= L) และ ∠EDF = 60°   ⇒   ∆DEF เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   EF = L   ⇔   EF = AF   ⇔   ∆AEF เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠F เป็นมุมยอด

∵ AC + CE = AE   ⇔   2Lcos50° + 2Lcos70° = 2Lcos10°   ⇔   cos70° + cos50° = cos10°   ⇔   sin20° + sin40° = sin80°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 6°

(1) ∵ ∠BAC = ∠ABC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   BC = AC   ⇔   BC = BP

(2) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ AQ = AB

จะเห็นว่า ∆APQ ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AP, ∠PAQ = ∠BAP, AQ = AB)   ⇒   PQ = BP

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AQP = ∠ABP   ⇔   ∠AQP = 2x

(3) พิจารณา ☐ABPQ จะได้ว่า ∠BPQ (มุมใหญ่) = 360° - 10x   ⇔   ∠BPQ (มุมเล็ก) = 10x 

สังเกตว่า BC = BP และ ∠CBP = 2(∠CQP)   ⇒   จุด B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆CPQ แนบใน   ⇒   BP = BQ

∴ BP = BQ = PQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠BPQ = 60°   ⇔   10x = 60°   ⇔   x = 6°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2 (โดยคุณ Angel Lazo HK)

(1) ∵ ∠BAC = ∠ABC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   BC = AC   ⇔   BC = BP   ⇔   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 4x) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BCP (= ∠BPC) = 90° - 2x

(2) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ PQ ⊥ AB และกำหนดจุด R บน AC ที่ทำให้ PR ⊥ AC

จะเห็นว่า ∆APR ≅ ∆APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠ARP = ∠AQP, ∠PAR = ∠PAQ, AP = AP)   ⇒   PR = PQ

(3) กำหนดจุด S บน CP ที่ทำให้ BS ⊥ CP   ⇒   BS เป็นส่วนสูงของ ∆BCP   ⇒   CS = PS และ ∠PBS (= ∠CBS) = (∠CBP)/2 = 2x

จะเห็นว่า ∆BPS ≅ ∆BPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠BSP = ∠BQP, ∠PBS = ∠PBQ, BP = BP)   ⇒   PS = PQ   ⇔   CS = PQ

(4) สังเกตว่า ∆CPR เป็น ∆มุมฉาก ที่มี ∠R เป็นมุมฉาก และ CP = 2‧PR   ⇒   ∠PCR = 30°

พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°   ⇔   6x + 6x + (120° - 2x) = 180°   ⇔   x = 6°   Q.E.D.

กำหนดให้ BD = 2‧AC

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

ให้ AC = ℓ ⇔   BD = 2ℓ

(1) กำหนดจุด P เป็นจุดกึ่งกลาง BD   ⇒   BP = DP = BD/2 = ℓ

∵ ∆ABD เป็น ∆มุมฉาก และจุด P เป็นจุดกึ่งกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก (BD)   ⇒   AP = BP = DP   ⇔   AP = ℓ

∵ ∆BCD เป็น ∆มุมฉาก และจุด P เป็นจุดกึ่งกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก (BD)   ⇒   CP = BP = DP   ⇔   CP = ℓ

(2) ∵ AC = AP = CP   ⇔   ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠APC = 60°

∵ AP = CP = DP   ⇔   จุด P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน   ⇒   ∠ADC = (∠APC)/2   ⇔   x = 30°   Q.E.D.