Fun Geometry Problem with Solution #70
โจทย์



กำหนดให้ α + β + γ = 90°
จงพิสูจน์ว่า x = α และ y = β
พิสูจน์ (อิอิคุง)



(1) ∵ α + β + γ = 90°      γ = 90° - α - β
พิจารณา ☐ACBP จะได้ว่า ∠APB (มุมใหญ่) = 360° - (α + β + 2γ)      ∠APB (มุมเล็ก) = α + β + 2γ      ∠APB = 180° - α - β

(2) กำหนดจุด Q บน AC ที่ทำให้ PQ ⊥ AC และกำหนดจุด R บน BC ที่ทำให้ PR ⊥ BC
จะเห็นว่า ∆CPQ  ∆CPR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠CQP = ∠CRP, ∠PCQ = ∠PCR, CP = CP)      PQ = PR
พิจารณา ∆APQ จะได้ว่า ∠APQ = 90° - α

(3) ต่อ QC ออกไปยังจุด S โดยที่ QS = BR
จะเห็นว่า ∆PQS  ∆BPR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (PQ = PR, ∠PQS = ∠BRP, QS = BR)      PS = BP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠PSQ = ∠PBR      ∠PSQ = β      ∠QPS = 90° - β

(4) สังเกตว่า ∆ABP  ∆APS ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AP, ∠APB = ∠APS, BP = PS)      ∠BAP = ∠PAS และ ∠ABP = ∠ASP      x = α และ y = β   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 18 พฤศจิกายน 2557
Last Update : 5 กรกฎาคม 2558 1:16:00 น.
Counter : 525 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #69
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า จุด B เป็น circumcenter ของ ∆ACD
พิสูจน์



(1) สร้างวงกลมล้อมรอบ ∆ABC แล้วต่อ BD ออกไปพบเส้นรอบวงที่จุด P      ☐ABCP สามารถแนบในวงกลมได้      ∠CAP = ∠CBP และ ∠ACP = ∠ABP      ∠CAP = 2α และ ∠ACP = 2β      ∠DAP = α และ ∠DCP = β

(2) พิจารณา ∆ACP จะได้ว่า ∠APC = 180° - 2α - 2β
นอกจากนั้น จะเห็นว่า มีจุด D เป็นจุดภายในที่ทำให้ AD และ CD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠CAP และ ∠ACP ตามลำดับ      จุด D เป็น incenter ของ ∆ACP      DP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠APC      ∠APD = ∠CPD = (∠APC)/2 = 90° - α - β

(3) พิจารณา ∆ADP จะได้ว่า ∠ADB = 90° - β
พิจารณา ∆ABD จะได้ว่า ∠BAD = 90° - β      ∠BAD = ∠ADB      ∆ABD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด      AB = BD

(4) พิจารณา ∆CDP จะได้ว่า ∠BDC = 90° - α
พิจารณา ∆BCD จะได้ว่า ∠BCD = 90° - α      ∠BCD = ∠BDC      ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด      BC = BD

(5) สังเกตว่า AB = BC = BD      จุด B เป็น circumcenter ของ ∆ACD   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 15 พฤศจิกายน 2557
Last Update : 3 กรกฎาคม 2558 23:55:00 น.
Counter : 712 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #68
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์



(1) ∠ADC = 45° และ ∠BDC = 135°

(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด B ผ่าน CD   =>   ∆CDP  ∆BCD   =>   ...
     • CP = BC
     • ∠DCP = ∠BCD   <=>   ∠DCP = 30°
     • ∠CDP = ∠BDC   <=>   ∠CDP = 135°   <=>   ∠ADP = 90°   <=>   ∠BDP = 90°
∵ BC = CP และ ∠BCP = 60°   =>   ∆BCP เป็น ∆ด้านเท่า   =>   BP = CP และ ∠BPC = 60°
จะเห็นว่า ∆ADP  ∆BDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BD, ∠ADP = ∠BDP, DP = DP)   =>   AP = BP

(3) สังเกตว่า AP = BP = CP   <=>   จุด P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ∠BAC = (∠BPC)/2   <=>   x = 30°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 12 พฤศจิกายน 2557
Last Update : 12 พฤศจิกายน 2557 0:00:00 น.
Counter : 580 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #67
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 40°
พิสูจน์



(1) ACB = 100° และ APB = 130° (=> ABP เป็น มุมป้าน)

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ABP แนบใน   =>   ...
     • จุด O อยู่ใต้ AB
     • AO = BO = OP
     • AOP = 2(ABP) และ BOP = 2(BAP)   <=>   AOP = 40° และ BOP = 60°
 AO = BO   <=>   ABO เป็น หน้าจั่ว ที่มี O (= 100°) เป็นมุมยอด   <=>   BAO = ABO = 40°
 BO = OP และ BOP = 60°   =>   BOP เป็น ด้านเท่า   =>   BO = BP

(3) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด O ผ่าน AB   =>   ABQ  ABO   =>   ...
     • BQ = BO   <=>   BQ = BP
     • BAQ = BAO   <=>   BAQ = 40°
     • ABQ = ABO   <=>   ABQ = 40°   <=>   CBQ = 10°
     • AQB = AOB   <=>   AQB = 100°   <=>   AQB = ACB   <=>   ABQC สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   BCQ = BAQ   <=>   BCQ = 40°
สังเกตว่า BCP  BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = BQ, CBP = CBQ, BC = BC)   =>   BCP = BCQ   <=>   x = 40°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 09 พฤศจิกายน 2557
Last Update : 9 พฤศจิกายน 2557 0:01:00 น.
Counter : 626 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #66
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 80°
พิสูจน์ (โดย คุณ moonoinee)



กำหนดจุด P ที่ทำให้ ABPD เป็น ด้านขนาน   =>   ...
  • BP = AD   <=>   BP = BC
  • ABP = 100°   <=>   CBP = 60°
  • BPD = 80°
  • ADP = 100°

 BC = BP และ CBP = 60°   =>   BCP เป็น ด้านเท่า   =>   BPC = 60°   <=>   CPD = 20°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า CP = BC   <=>   CP = CD   <=>   CDP เป็น หน้าจั่ว ที่มี C เป็นมุมยอด   <=>   CDP = CPD   <=>   CDP = 20°   <=>   ADC = x = 80°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 06 พฤศจิกายน 2557
Last Update : 6 พฤศจิกายน 2557 0:00:00 น.
Counter : 584 Pageviews.

0 comment
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog