Fun Geometry Problem with Solution #110
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 15°
พิสูจน์



(1) ∠BCD = 90° - 5x

(2) ต่อ CD ออกไปยังจุด P โดยที่ DP = CD      ∆ADP  ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BD, ∠ADP = ∠BDC, DP = CD)      AP = BC และ ∠DAP = ∠CBD ( ∠DAP = 2x)
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∆BDP  ∆ACD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD = AD, ∠BDP = ∠ADC, DP = CD)      ∠BPD = ∠ACD      ∠BPD = 2x

(3) ต่อ BA ออกไปยังจุด Q โดยที่ ∠BQC = 2x      ∠BQC = ∠CBQ      ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด      CQ = BC      CQ = AP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BQC = ∠BPC      ☐BCQP สามารถแนบในวงกลมได้      ∠BQP = ∠BCP      ∠BQP = 90° - 5x

(4) พิจารณา ∠BAQ จะได้ว่า ∠CAQ = 90° - x
พิจารณา ∆ACQ จะได้ว่า ∠ACQ = 90° - x      ∠ACQ = ∠CAQ      ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด      AQ = CQ      AQ = AP      ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด      ∠APQ = ∠AQP      ∠APQ = 90° - 5x
พิจารณา ∆APQ จะได้ว่า ∠APQ + ∠AQP = ∠BAP      (90° - 5x) + (90° - 5x) = 2x      x = 15°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 17 มีนาคม 2558
Last Update : 17 มีนาคม 2558 0:00:00 น.
Counter : 591 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #109
โจทย์



กำหนดให้ AC = BC, AB = AD + CD และ AD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC
จงพิสูจน์ว่า x = 100°
พิสูจน์



(1) ให้ AD = a, CD = b และ BD = c
∵ AC = BC      AC = b + c
∵ AB = AD + CD      AB = a + b

(2) ให้ ∠ABC = 2α
∵ AC = BC      ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด      ∠BAC = ∠ABC      ∠BAC = 2α
∵ AD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC      ∠BAD = ∠CAD = (∠BAC)/2 = α

(3) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠APD = α      ∠APD = ∠DAP      ∆ADP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด      DP = AD      DP = a
พิจารณา ∆BDP จะได้ว่า ∠BDP = α      ∠BDP = ∠BPD      ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด      BP = BD      BP = c

(4) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ CQ = a
พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BCQ = 4α
จะเห็นว่า ∆ADQ  ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = AD, ∠DAQ = ∠DAP, AQ = AP)      ∠AQD = ∠APD      ∠AQD = α
นอกจากนั้น ยังได้ว่า DQ = DP      DQ = a      DQ = CQ      ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด      ∠CDQ = ∠DCQ      ∠CDQ = 4α

(5) พิจารณา ∆CDQ จะได้ว่า ∠DCQ + ∠CDQ + ∠CQD = 180°      4α + 4α + α = 180°   ⇔   α = 20°
∴ ∠DCQ = 80°      ∠ACD = x = 100°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 14 มีนาคม 2558
Last Update : 25 สิงหาคม 2558 22:34:00 น.
Counter : 551 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #108
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 50°
พิสูจน์



(1) ∠ADC = 80°

(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด A ผ่าน CD      ∆CDP  ∆ACD      CP = AC, ∠DCP = ∠ACD = 30° และ ∠CPD = ∠CAD = 70°
∵ AC = CP และ ∠ACP = 60°      ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า      AC = AP และ ∠CAP = ∠APC = 60° ( ∠DAP = ∠APD = 10°)

(3) กำหนดจุด Q ใต้ AC ที่ทำให้ AQ = AD และ ∠CAQ = 10°
จะเห็นว่า ∆ACQ  ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AP, ∠CAQ = ∠DAP, AQ = AD)      ∠ACQ = ∠APD      ∠ACQ = 10°
∵ AD = AQ      ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 80°) เป็นมุมยอด      ∠AQD (= ∠ADQ) = 50°

(4) ต่อ AQ ออกไปพบ BC ที่จุด R
พิจารณา ∆ACR จะได้ว่า ∠ARB = 30°
พิจารณา ☐CDQR จะเห็นว่า ∠DCR = ∠AQD      ☐CDQR สามารถแนบในวงกลมได้      ∠DRQ = ∠DCQ      ∠DRQ = 40°
พิจารณา ☐ABRD จะเห็นว่า ∠BAD + ∠BRD = 180°      ☐ABRD สามารถแนบในวงกลมได้      ∠ADB = ∠ARB      ∠ADB = 30°      ∠BDC = x = 50°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 11 มีนาคม 2558
Last Update : 11 มีนาคม 2558 0:00:00 น.
Counter : 648 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #107
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 18°
พิสูจน์ (โดย อ.สฮาบูดีน สาและ)



(1) ∠ACB = 72°

(2) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ ∠AQB = 36°      ∠AQB = ∠BAQ      ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด      AB = BQ
พิจารณา ∆BCQ จะได้ว่า ∠CBQ = 36°      ∠CBQ = ∠BQC      ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด      BC = CQ

(3) กำหนดจุด R เหนือ AQ ที่ทำให้ BR = QR = BQ (= AB)      ∆BQR เป็น ∆ด้านเท่า      ∠QBR = 60° ( ∠CBR = 24° ⇔ ∠PBR = 24°) และ ∠BRQ = 60°
∵ BR = AB      ∆ABR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 48°) เป็นมุมยอด      ∠BAR (= ∠ARB) = 66°      ∠CAR = 30°

(4) สังเกตว่า ∆BCR  ∆CQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = CQ, BR = QR, CR = CR)      ∠BRC (= ∠CRQ) = (∠BRQ)/2 = 30°
พิจารณา ∆ACR จะได้ว่า ∠ACR = 54°

(5) สังเกตว่า ∆BPR  ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = BP, ∠PBR = ∠ABP, BR = AB)      PR = AP
∵ AP = PR และ ∠PAR = 60°      ∆APR เป็น ∆ด้านเท่า      AP = AR

(6) สังเกตว่า ∆ACP  ∆ACR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AC, ∠CAP = ∠CAR, AP = AR)      ∠ACP = ∠ACR      ∠ACP = 54°      ∠BCP = x = 18°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 08 มีนาคม 2558
Last Update : 8 มีนาคม 2558 0:00:00 น.
Counter : 607 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #106
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 20°
พิสูจน์



(1) ∠ACB = 30°

(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด A ผ่าน BC      ∆BCP  ∆ABC      CP = AC, ∠BCP = ∠ACB = 30° และ ∠BPC = ∠BAC = 70°
∵ AC = CP และ ∠ACP = 60°      ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า      AC = AP และ ∠CAP = ∠APC = 60° ( ∠BAP = ∠APB = 10°)

(3) กำหนดจุด Q บน AD ที่ทำให้ AQ = AB      ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 80°) เป็นมุมยอด      ∠ABQ (= ∠AQB) = 50°      ∠DBQ = 10°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∆ACQ  ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AQ = AB, ∠CAQ = ∠BAP, AC = AP)      ∠ACQ = ∠APB      ∠ACQ = 10°

(4) พิจารณา ∆ACQ จะได้ว่า ∠CQD = 20°      ∠CQD = ∠CBD      ☐BCDQ สามารถแนบในวงกลมได้      ∠DCQ = ∠DBQ      ∠DCQ = 10°      ∠ACD = x = 20°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 05 มีนาคม 2558
Last Update : 5 มีนาคม 2558 0:00:00 น.
Counter : 552 Pageviews.

0 comment
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog