(1) ∠BCD = 90° - 5x

(2) ต่อ CD ออกไปยังจุด P โดยที่ DP = CD   ⇒   ∆ADP ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BD, ∠ADP = ∠BDC, DP = CD)   ⇒   AP = BC และ ∠DAP = ∠CBD (⇔ ∠DAP = 2x)

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∆BDP ≅ ∆ACD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD = AD, ∠BDP = ∠ADC, DP = CD)   ⇒   ∠BPD = ∠ACD   ⇔   ∠BPD = 2x

(3) ต่อ BA ออกไปยังจุด Q โดยที่ ∠BQC = 2x   ⇔   ∠BQC = ∠CBQ   ⇔   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   CQ = BC   ⇔   CQ = AP

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BQC = ∠BPC   ⇔   ☐BCQP สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠BQP = ∠BCP   ⇔   ∠BQP = 90° - 5x

(4) พิจารณา ∠BAQ จะได้ว่า ∠CAQ = 90° - x

พิจารณา ∆ACQ จะได้ว่า ∠ACQ = 90° - x   ⇔   ∠ACQ = ∠CAQ   ⇔   ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   AQ = CQ   ⇔   AQ = AP   ⇔   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   ∠APQ = ∠AQP   ⇔   ∠APQ = 90° - 5x

พิจารณา ∆APQ จะได้ว่า ∠APQ + ∠AQP = ∠BAP   ⇔   (90° - 5x) + (90° - 5x) = 2x   ⇔   x = 15°   Q.E.D.

(1) ให้ AD = a, CD = b และ BD = c

∵ AC = BC   ⇔   AC = b + c

∵ AB = AD + CD   ⇔   AB = a + b

(2) ให้ ∠ABC = 2α

∵ AC = BC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BAC = ∠ABC   ⇔   ∠BAC = 2α

∵ AD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC   ⇔   ∠BAD = ∠CAD = (∠BAC)/2 = α

(3) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠APD = α   ⇔   ∠APD = ∠DAP   ⇔   ∆ADP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   ⇔   DP = AD   ⇔   DP = a

พิจารณา ∆BDP จะได้ว่า ∠BDP = α   ⇔   ∠BDP = ∠BPD   ⇔   ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   BP = BD   ⇔   BP = c

(4) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ CQ = a

พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BCQ = 4α

จะเห็นว่า ∆ADQ ≅ ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = AD, ∠DAQ = ∠DAP, AQ = AP)   ⇒   ∠AQD = ∠APD   ⇔   ∠AQD = α

นอกจากนั้น ยังได้ว่า DQ = DP   ⇔   DQ = a   ⇔   DQ = CQ   ⇔   ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CDQ = ∠DCQ   ⇔   ∠CDQ = 4α

(5) พิจารณา ∆CDQ จะได้ว่า ∠DCQ + ∠CDQ + ∠CQD = 180°   ⇔   4α + 4α + α = 180°   ⇔   α = 20°

∴ ∠DCQ = 80°   ⇔   ∠ACD = x = 100°   Q.E.D.

(1) ∠ADC = 80°

(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด A ผ่าน CD   ⇒   ∆CDP ≅ ∆ACD   ⇒   CP = AC, ∠DCP = ∠ACD = 30° และ ∠CPD = ∠CAD = 70°

∵ AC = CP และ ∠ACP = 60°   ⇒   ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AC = AP และ ∠CAP = ∠APC = 60° (⇔ ∠DAP = ∠APD = 10°)

(3) กำหนดจุด Q ใต้ AC ที่ทำให้ AQ = AD และ ∠CAQ = 10°

จะเห็นว่า ∆ACQ ≅ ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AP, ∠CAQ = ∠DAP, AQ = AD)   ⇒   ∠ACQ = ∠APD   ⇔   ∠ACQ = 10°

∵ AD = AQ   ⇔   ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQD (= ∠ADQ) = 50°

(4) ต่อ AQ ออกไปพบ BC ที่จุด R

พิจารณา ∆ACR จะได้ว่า ∠ARB = 30°

พิจารณา ☐CDQR จะเห็นว่า ∠DCR = ∠AQD   ⇔   ☐CDQR สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠DRQ = ∠DCQ   ⇔   ∠DRQ = 40°

พิจารณา ☐ABRD จะเห็นว่า ∠BAD + ∠BRD = 180°   ⇔   ☐ABRD สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠ADB = ∠ARB   ⇔   ∠ADB = 30°   ⇔   ∠BDC = x = 50°   Q.E.D.

(1) ∠ACB = 72°

(2) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ ∠AQB = 36°   ⇔   ∠AQB = ∠BAQ   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   AB = BQ

พิจารณา ∆BCQ จะได้ว่า ∠CBQ = 36°   ⇔   ∠CBQ = ∠BQC   ⇔   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   BC = CQ

(3) กำหนดจุด R เหนือ AQ ที่ทำให้ BR = QR = BQ (= AB)   ⇔   ∆BQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠QBR = 60° (⇔ ∠CBR = 24° ⇔ ∠PBR = 24°) และ ∠BRQ = 60°

∵ BR = AB   ⇔   ∆ABR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 48°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BAR (= ∠ARB) = 66°   ⇔   ∠CAR = 30°

(4) สังเกตว่า ∆BCR ≅ ∆CQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = CQ, BR = QR, CR = CR)   ⇒   ∠BRC (= ∠CRQ) = (∠BRQ)/2 = 30°

พิจารณา ∆ACR จะได้ว่า ∠ACR = 54°

(5) สังเกตว่า ∆BPR ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = BP, ∠PBR = ∠ABP, BR = AB)   ⇒   PR = AP

∵ AP = PR และ ∠PAR = 60°   ⇒   ∆APR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AP = AR

(6) สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆ACR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AC, ∠CAP = ∠CAR, AP = AR)   ⇒   ∠ACP = ∠ACR   ⇔   ∠ACP = 54°   ⇔   ∠BCP = x = 18°   Q.E.D.

(1) ∠ACB = 30°

(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด A ผ่าน BC   ⇒   ∆BCP ≅ ∆ABC   ⇒   CP = AC, ∠BCP = ∠ACB = 30° และ ∠BPC = ∠BAC = 70°

∵ AC = CP และ ∠ACP = 60°   ⇒   ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AC = AP และ ∠CAP = ∠APC = 60° (⇔ ∠BAP = ∠APB = 10°)

(3) กำหนดจุด Q บน AD ที่ทำให้ AQ = AB   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ABQ (= ∠AQB) = 50°   ⇔   ∠DBQ = 10°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∆ACQ ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AQ = AB, ∠CAQ = ∠BAP, AC = AP)   ⇒   ∠ACQ = ∠APB   ⇔   ∠ACQ = 10°

(4) พิจารณา ∆ACQ จะได้ว่า ∠CQD = 20°   ⇔   ∠CQD = ∠CBD   ⇔   ☐BCDQ สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠DCQ = ∠DBQ   ⇔   ∠DCQ = 10°   ⇔   ∠ACD = x = 20°   Q.E.D.