จงพิสูจน์ว่า α + β + γ = 90°

(1) ∵ AB = BC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 90°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ACB (= ∠BAC) = 45°   ⇔   α = 45°

(2) จากรูป จะเห็นว่า ∆APQ ≅ ∆EQR ≅ ∆ABD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = QR = AB, ∠APQ = ∠ERQ = ∠ABD, PQ = ER = BD)   ⇒   ∠AQP = ∠QER = ∠ADB = β

(3) พิจารณา ∆EQR จะได้ว่า ∠EQR = 90° - β

∵ ∠AQP + ∠AQE + ∠EQR = 180°   ⇔   β + ∠AQE + (90° - β) = 180°   ⇔   ∠AQE = 90°

(4) ∵ ∆APQ ≅ ∆EQR   ⇒   AQ = EQ   ⇔   ∆AEQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 90°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AEQ (= ∠EAQ) = 45°   ⇔   ∠AEQ = α

∵ ∠AEQ + ∠QER + ∠AEB = 90°   ⇔   α + β + γ = 90°   Q.E.D.

กำหนดให้ ∠BCD เป็นมุมป้าน

จงพิสูจน์ว่า x = 15°

(1) พิจารณา ∆ABD จะได้ว่า ∠ADB = 90° - x

พิจารณา ∆ACD จะได้ว่า ∠CAD = 60° - x

(2) ต่อ BC ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠BPD = 90°   ⇒   ∠DCP = 3x

จะเห็นว่า ∆BDP ≅ ∆ABD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠BPD = ∠BAD, ∠DBP = ∠ABD, BD = BD)   ⇒   BP = AB   ⇔   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 2x) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BAP = ∠APB = 90° - x   ⇔   ∠DAP = ∠APD = x

(3) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด A ผ่าน CD   ⇒   ∆CDQ ≅ ∆ACD   ⇒   CQ = AC, ∠DCQ = ∠ACD = 30° และ ∠CQD = ∠CAD = 60° - x

∵ AC = CQ และ ∠ACQ = 60°   ⇒   ∆ACQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AC = AQ

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CAQ = ∠AQC = 60°   ⇔   ∠DAQ = ∠AQD = x

(4) สังเกตว่า ∆ADP ≅ ∆ADQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠APD = ∠AQD, ∠DAP = ∠DAQ, AD = AD)   ⇒   AP = AQ   ⇔   AP = AC   ⇔   ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ACP = ∠APC   ⇔   ∠ACP = 90° - x   ⇔   ∠DCP = 60° - x   ⇔   3x = 60° - x   ⇔   x = 15°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 40° โดยไม่ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม

(1) ต่อ AP ออกไปพบ BC ที่จุด Q   ⇒   ∠BPQ = 40°, ∠AQB = 100° และ ∠AQC = 80°

∵ ∠BPQ = ∠PBQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   BQ = PQ

(2) กำหนดจุด R เป็นภาพสะท้อนของจุด Q ผ่าน AC   ⇒   ∆ACR ≅ ∆ACQ   ⇒   AR = AQ, ∠CAR = ∠CAQ = 30° และ ∠ARC = ∠AQC = 80°

∵ AQ = AR และ ∠QAR = 60°   ⇒   ∆AQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AQ = QR

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AQR = ∠ARQ = 60°   ⇔   ∠CQR = ∠CRQ = 20°

(3) กำหนดจุด S บน AB ที่ทำให้ ∠AQS = 20°   ⇒   ∠BQS = 80° และ ∠BSQ = 40°

จะเห็นว่า ∆AQS ≅ ∆CQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠QAS = ∠CRQ, AQ = QR, ∠AQS = ∠CQR)   ⇒   QS = CQ

(4) สังเกตว่า ∆CPQ ≅ ∆BQS ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CQ = QS, ∠CQP = ∠BQS, PQ = BQ)   ⇒   ∠PCQ = ∠BSQ   ⇔   x = 40°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

ให้ AP = L

(1) ต่อ AB ออกไปยังจุด Q โดยที่ PQ = L   ⇒   ∠CBQ = 140°

∵ AP = PQ   ⇔   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQP = ∠PAQ   ⇔   ∠AQP = 10°

(2) ต่อ AC ออกไปยังจุด R โดยที่ PR = L   ⇒   ∠BCR = 70°

∵ AP = PR   ⇔   ∆APR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ARP = ∠PAR   ⇔   ∠ARP = 20°

พิจารณา ∆CPR จะได้ว่า ∠CPR = 80°   ⇔   ∠CPR = ∠PCR   ⇔   ∆CPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   ⇔   CR = PR   ⇔   CR = L

(3) พิจารณา ☐AQPR จะได้ว่า ∠QPR (มุมใหญ่) = 360° - 60°   ⇔   ∠QPR (มุมเล็ก) = 60°

∵ PQ = PR และ ∠QPR = 60°   ⇒   ∆PQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   QR = L และ ∠PQR = ∠PRQ = 60°

∵ CR = QR   ⇔   ∆CQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠QCR = ∠CQR = 50°   ⇔   ∠BCQ = ∠BQC = 20°   ⇔   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 140°) เป็นมุมยอด   ⇔   BC = BQ

(4) สังเกตว่า ∆BQR ≅ ∆BCR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BQ = BC, BR = BR, QR = CR)   ⇒   ∠BRQ (= ∠BRC) = (∠CRQ)/2 = 40°   ⇔   ∠BRP = 20°

พิจารณา ∆BQR จะได้ว่า ∠QBR = 70° (⇔ ∠ABR = 110°)   ⇔   ∠QBR = ∠BQR   ⇔   ∆BQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   ⇔   BR = QR   ⇔   BR = L

∵ BR = PR   ⇔   ∆BPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R (= 20°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠PBR (= ∠BPR) = 80°   ⇔   ∠ABP = x = 30°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

(1) ∠ACB = 120° - 2α และ ∠ADB = 60° - α

(2) ต่อ DA ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = AC   ⇒   ∠BAP = 60°

จะเห็นว่า ∆ABP ≅ ∆ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AB = AB, ∠BAP = ∠BAC, AP = AC)   ⇒   BP = BC

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠APB = ∠ACB   ⇔   ∠APB = 120° - 2α

(3) ต่อ DP ออกไปยังจุด Q ที่ทำให้ ∠BQD = 60° - α   ⇔   ∠BQD = ∠BDQ   ⇔   ∆BDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   BD = BQ

พิจารณา ∆BPQ จะได้ว่า ∠PBQ = 60° - α และ ∠BPQ = 60° + 2α

∵ ∠PBQ = ∠BQP   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   PQ = BP   ⇔   PQ = BC

(4) กำหนดจุด R ทางด้านขวาของ PQ ที่ทำให้ PR = QR = PQ (= BC)   ⇔   ∆PQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠QPR = 60° และ ∠PQR = 60°   ⇔   ∠BPR = 2α และ ∠BQR = α

∵ BP = PR   ⇔   ∆BPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 2α) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠PBR (= ∠BRP) = 90° - α   ⇔   ∠QBR = 30°

(5) สังเกตว่า ∆BCD ≅ ∆BQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = QR, ∠CBD = ∠BQR, BD = BQ)   ⇒   ∠BDC = ∠QBR   ⇔   x = 30°   Q.E.D.