กำหนดให้ ☐ABCD เป็น ☐จัตุรัส

จงพิสูจน์ว่า x = 18°

พิสูจน์ (โดย คุณ Angel Espinoza Torres)

(1) ∵ ☐ABCD เป็น ☐จัตุรัส   =>   ...

     • AB = AD

     • ∠BAD = 90°

     • ∠ABC = 90° และ ∠ADC = 90°   <=>   ∠ABP = 54° และ ∠ADP = 81°   =>   ∠BPD = 135°

     • ∠BAC = ∠CAD = 45°

(2) กำหนดจุด Q เป็นจุดตัดระหว่าง AC และ BP

สังเกตว่า ∆ADQ ≅ ∆ABQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = AB, ∠DAQ = ∠BAQ, AQ = AQ)   =>   ∠ADQ = ∠ABQ   <=>   ∠ADQ = 54°   <=>   ∠PDQ = 27°

(3) สังเกตว่า ∠DPQ + ∠DAQ = 180°   <=>   ☐ADPQ สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠PAQ = ∠PDQ   <=>   ∠PAQ = 27°   <=>   ∠DAP = x = 18°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 15°

(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 105°   =>   ∆ABC เป็น ∆มุมป้าน

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ...

     • จุด O อยู่นอก ∆ABC

     • AO = BO = CO

     • ∠AOC = 2(∠ABC) และ ∠BOC = 2(∠BAC)   <=>   ∠AOC = 90° และ ∠BOC = 60°

∵ AO = CO   <=>   ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 90°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ACO (= ∠CAO) = 45°

∵ BO = CO และ ∠BOC = 60°   =>   ∆BCO เป็น ∆ด้านเท่า   =>   BC = CO

(3) สังเกตว่า ∆BCD ≅ ∆ACO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = CO, ∠CBD = ∠ACO, BD = AC)   =>   ∠BCD = ∠AOC   <=>   ∠BCD = 90°   <=>   ∠ACD = x = 15°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 10°

(1) ∠CAP = 30° - x และ ∠APB = 150° - x

(3) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ AP (= OP) = PQ   <=>   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠AQP = ∠PAQ   <=>   ∠AQP = 30° - x   <=>   ∠APQ = 120° + 2x   <=>   ∠BPQ = 90° - x

(4) สังเกตว่า ∆BPQ ≅ ∆BOP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (PQ = OP, ∠BPQ = ∠BPO, BP = BP)   =>   ∠BQP = ∠BOP   <=>   ∠BQP = 2x   <=>   ∠BQP = ∠BCP   <=>   ☐BPCQ สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠CQP = ∠CBP   <=>   30° - x = 20°   <=>   x = 10°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = α

(1) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ DP = CD   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   ∠CPD = ∠DCP   <=>   ∠CPD = α + β   <=>   ∠BDP = β

(2) สังเกตว่า ∆ACD ≅ ∆BDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = BD, ∠ACD = ∠BDP, CD = DP)   =>   ∠CAD = ∠DBP   <=>   x = α   Q.E.D.

พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°   <=>   x + α + (α + 2β) = 180°   =>   2α + 2β < 180°   <=>   α + β < 90°   <=>   ∠BCD < 90°   (✱)

พิจารณา ∆BCD เห็นได้ชัดว่า ∠BCD > ∠CBD   (✱✱)

จาก (✱) และ (✱✱) แสดงให้เห็นว่า เราสามารถกำหนดจุด P ตามเงื่อนไขที่ต้องการได้

จงพิสูจน์ว่า x = 10°

(1) ∵ ∠BAC = ∠ABC   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด

(2) กำหนดให้ CQ เป็นส่วนสูงของ ∆ABC และ CQ ตัดกับ BP ที่จุด R   =>   RQ ⊥ AB และ จุด Q เป็นจุดกึ่งกลาง AB   <=>   RQ เป็นส่วนสูงของ ∆ABR ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว

∴ ∆ABR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   <=>   ∠BAR = ∠ABR   <=>   ∠BAR = 3x   <=>   ∠PAR = 2x

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BQR (= ∠AQR) = 90°   <=>   ∠BRQ = 90° - 3x   <=>   ∠CRP = 90° - 3x

(3) ต่อ AR ออกไปยังจุด S โดยที่ AS = AC

สังเกตว่า ∆APS ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AS = AC, ∠PAS = ∠CAP, AP = AP)   =>   ∠ASP = ∠ACP   <=>   ∠ASP = x

∵ AC = AS   <=>   ∆ACS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 4x) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ASC (= ∠ACS) = 90° - 2x   <=>   ∠CSP = 90° - 3x   <=>   ∠CSP = ∠CRP   <=>   ☐CPRS สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠PCR = ∠PSR   <=>   ∠PCR = x

(4) พิจารณา ∆ACQ จะได้ว่า ∠CAQ + ∠ACQ + ∠AQC = 180°   <=>   7x + 2x + 90° = 180°   <=>   x = 10°   Q.E.D.