Fun Geometry Problem with Solution #60
โจทย์



กำหนดให้ ☐ABCD เป็น ☐จัตุรัส
จงพิสูจน์ว่า x = 18°
พิสูจน์ (โดย คุณ Angel Espinoza Torres)



(1) ∵ ☐ABCD เป็น ☐จัตุรัส   =>   ...
     • AB = AD
     • ∠BAD = 90°
     • ∠ABC = 90° และ ∠ADC = 90°   <=>   ∠ABP = 54° และ ∠ADP = 81°   =>   ∠BPD = 135°
     • ∠BAC = ∠CAD = 45°

(2) กำหนดจุด Q เป็นจุดตัดระหว่าง AC และ BP
สังเกตว่า ∆ADQ  ∆ABQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = AB, ∠DAQ = ∠BAQ, AQ = AQ)   =>   ∠ADQ = ∠ABQ   <=>   ∠ADQ = 54°   <=>   ∠PDQ = 27°

(3) สังเกตว่า ∠DPQ + ∠DAQ = 180°   <=>   ☐ADPQ สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠PAQ = ∠PDQ   <=>   ∠PAQ = 27°   <=>   ∠DAP = x = 18°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 19 ตุลาคม 2557
Last Update : 19 ตุลาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 661 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #59
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 15°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 105°   =>   ∆ABC เป็น ∆มุมป้าน

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ...
     • จุด O อยู่นอก ∆ABC
     • AO = BO = CO
     • ∠AOC = 2(∠ABC) และ ∠BOC = 2(∠BAC)   <=>   ∠AOC = 90° และ ∠BOC = 60°
∵ AO = CO   <=>   ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 90°) เป็นมุมยอด   <=>   ∠ACO (= ∠CAO) = 45°
∵ BO = CO และ ∠BOC = 60°   =>   ∆BCO เป็น ∆ด้านเท่า   =>   BC = CO

(3) สังเกตว่า ∆BCD  ∆ACO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = CO, ∠CBD = ∠ACO, BD = AC)   =>   ∠BCD = ∠AOC   <=>   ∠BCD = 90°   <=>   ∠ACD = x = 15°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 16 ตุลาคม 2557
Last Update : 16 ตุลาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 612 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #58
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์



(1) ∠CAP = 30° - x และ ∠APB = 150° - x

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABP แนบใน   <=>   AO = BO = OP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AOP = 2(∠ABP) และ ∠BOP = 2(∠BAP)   <=>   ∠AOP = 60° และ ∠BOP = 2x
∵ AO = OP และ ∠AOP = 60°   =>   ∆AOP เป็น ∆ด้านเท่า   =>   AP = OP
∵ BO = OP   <=>   ∆BOP เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠O (= 2x) เป็นมุมยอด   <=>   ∠BPO (= ∠OBP) = 90° - x

(3) ต่อ AC ออกไปยังจุด Q โดยที่ AP (= OP) = PQ   <=>   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠AQP = ∠PAQ   <=>   ∠AQP = 30° - x   <=>   ∠APQ = 120° + 2x   <=>   ∠BPQ = 90° - x

(4) สังเกตว่า ∆BPQ  ∆BOP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (PQ = OP, ∠BPQ = ∠BPO, BP = BP)   =>   ∠BQP = ∠BOP   <=>   ∠BQP = 2x   <=>   ∠BQP = ∠BCP   <=>   ☐BPCQ สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠CQP = ∠CBP   <=>   30° - x = 20°   <=>   x = 10°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 13 ตุลาคม 2557
Last Update : 13 ตุลาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 646 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #57
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = α
พิสูจน์



(1) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ DP = CD   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   ∠CPD = ∠DCP   <=>   ∠CPD = α + β   <=>   ∠BDP = β

(2) สังเกตว่า ∆ACD  ∆BDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = BD, ∠ACD = ∠BDP, CD = DP)   =>   ∠CAD = ∠DBP   <=>   x = α   Q.E.D.

หมายเหตุ
พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°   <=>   x + α + (α + 2β) = 180°   =>   2α + 2β < 180°   <=>   α + β < 90°   <=>   ∠BCD < 90°   (✱)
พิจารณา ∆BCD เห็นได้ชัดว่า ∠BCD > ∠CBD   (✱✱)
จาก (✱) และ (✱✱) แสดงให้เห็นว่า เราสามารถกำหนดจุด P ตามเงื่อนไขที่ต้องการได้

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 10 ตุลาคม 2557
Last Update : 10 ตุลาคม 2557 0:00:00 น.
Counter : 635 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #56
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์



(1)  BAC = ABC   <=>   ABC เป็น หน้าจั่ว ที่มี C เป็นมุมยอด

(2) กำหนดให้ CQ เป็นส่วนสูงของ ABC และ CQ ตัดกับ BP ที่จุด R   =>   RQ ⊥ AB และ จุด Q เป็นจุดกึ่งกลาง AB   <=>   RQ เป็นส่วนสูงของ ABR ซึ่งเป็น หน้าจั่ว
ABR เป็น หน้าจั่ว ที่มี R เป็นมุมยอด   <=>   BAR = ABR   <=>   BAR = 3x   <=>   PAR = 2x
นอกจากนั้น ยังได้ว่า BQR (= AQR) = 90°   <=>   BRQ = 90° - 3x   <=>   CRP = 90° - 3x

(3) ต่อ AR ออกไปยังจุด S โดยที่ AS = AC
สังเกตว่า APS  ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AS = AC, PAS = CAP, AP = AP)   =>   ASP = ACP   <=>   ASP = x
 AC = AS   <=>   ACS เป็น หน้าจั่ว ที่มี A (= 4x) เป็นมุมยอด   <=>   ASC (= ACS) = 90° - 2x   <=>   CSP = 90° - 3x   <=>   CSP = CRP   <=>   CPRS สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   PCR = PSR   <=>   PCR = x

(4) พิจารณา ACQ จะได้ว่า CAQ + ACQ + AQC = 180°   <=>   7x + 2x + 90° = 180°   <=>   x = 10°   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 07 ตุลาคม 2557
Last Update : 12 ตุลาคม 2557 19:00:00 น.
Counter : 747 Pageviews.

0 comment
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog