Fun Geometry Problem with Solution #20
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 12°
พิสูจน์



(1) กำหนดจุด P บน AD ที่ทำให้ AP = AB
สังเกตว่า ∆ACP  ∆ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AB, ∠CAP = ∠BAC, AC = AC)   =>   ∠ACP = ∠ACB   <=>   ∠ACP = x   <=>   ∠CPD = 6x
นอกจากนั้น ยังได้ว่า CP = BC   <=>   CP = CD   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠CDP = ∠CPD   <=>   ∠CDP = 6x   <=>   ∠DCP = 180° - 12x   <=>   ∠BCD = 180° - 10x

(2) ∵ BC = CD   <=>   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠CBD = ∠BDC   <=>   ∠CBD = 5x
พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า 5x + 5x + x + 48° = 180°   <=>   x = 12°   Q.E.D.



Create Date : 18 มิถุนายน 2557
Last Update : 18 มิถุนายน 2557 1:58:58 น.
Counter : 729 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #19
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์



(1) พิจารณา ∆ACD จะได้ว่า x = 60° - ∠ACD
พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ABC = 80°   <=>   ∠ABC = ∠ACB   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠A เป็นมุมยอด   <=>   AB = AC
พิจารณา ∆ABD จะได้ว่า ∠ABD = 40°   <=>   ∠ABD = ∠BAD   <=>   ∆ABD เป็น ∆หน้าจั่วที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   AD = BD

(2) กำหนดจุด P เหนือ AB ที่ทำให้ AB = AP = BP   <=>   ∆ABP เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠BAP = ∠ABP = ∠APB = 60°  
∵ AB = AP   <=>   AC = AP
∵ ∠BAP = 60°   <=>   ∠DAP = 20°   <=>   ∠DAP = ∠CAD

(3) สังเกตว่า ∆ADP ≅ ∆BDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AD = BD, AP = BP, DP = DP)   =>   ∠APD = ∠BPD = (∠APB)/2 = 30°
สังเกตว่า ∆ACD ≅ ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AP, ∠CAD = ∠DAP, AD = AD)   =>   ∠ACD = ∠APD   <=>   ∠ACD = 30°   <=>   x = 30°   Q.E.D.



Create Date : 16 มิถุนายน 2557
Last Update : 16 มิถุนายน 2557 23:29:58 น.
Counter : 772 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #18
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์



(1) ∵ ∠BAC (มุมเล็ก) = 90°   <=>   ∠BAC (มุมใหญ่) = 270°

(2) ∵ AB = AC   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   <=>   ∠ACB (= ∠ABC) = 45°   <=>   ∠BCP = 45° - x   <=>   ∠BPC = 135°

(3) กำหนดจุด Q ภายนอก ∆ABC ที่ทำให้ BQ = BP และ CQ = CP (<=> CQ = AC) 
จะเห็นว่า ∆BCQ  ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = BC, BQ = BP, CQ = CP)   =>   ∠BQC = 135°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BCQ = ∠BCP   <=>   ∠BCQ = 45° - x   <=>   ∠ACQ = 90° - x

สังเกตว่า ∠BAC (มุมใหญ่) = 270° = 2(∠BQC) และ AB = AC   =>   จุด A เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆BCQ แนบใน   =>   AC = AQ
∴ AC = AQ = CQ   <=>   ∆ACQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠ACQ = 60°   <=>   90° - x = 60°   <=>   x = 30°   Q.E.D.



Create Date : 14 มิถุนายน 2557
Last Update : 14 มิถุนายน 2557 21:48:39 น.
Counter : 773 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #17
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์



(1) ∠BDC = 135°   <=>   ∠CBD = 135° - x   <=>   ∠ACB = 135°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน   =>   ∠AOB (มุมใหญ่) = 2(∠ACB)   <=>   ∠AOB (มุมใหญ่) = 270°   <=>   ∠AOB (มุมเล็ก) = 90°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า AO = BO = CO
∵ AO = BO   <=>   ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด   <=>   ∠ABO = ∠BAO   <=>   ∠ABO = 45°
พิจารณา ∆ABO ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด
∵ AD = BD   <=>   DO เป็นส่วนสูงของ ∆AOB   <=>   ∠BOD = (∠AOB)/2 = 45°   <=>   ∠BOD = ∠DBO   <=>   ∆BDO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>   BD = DO
∵ DO เป็นส่วนสูงของ ∆AOB   <=>   ∠ADO = 90°   <=>   ∠CDO = 135°

(3) สังเกตว่า ∆CDO  ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (DO = BD, ∠CDO = ∠BDC, CD = CD)   =>   ∠DCO = ∠BCD   <=>   ∠DCO = x   <=>   ∠BCO = 2x
นอกจากนั้น ยังได้ว่า CO = BC
∴ BC = BO = CO   <=>   ∆BCO เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠BCO = 60°   <=>   2x = 60°   <=>   x = 30°   Q.E.D.



Create Date : 12 มิถุนายน 2557
Last Update : 25 สิงหาคม 2557 22:05:28 น.
Counter : 770 Pageviews.

0 comment
Fun Geometry Problem with Solution #16
โจทย์



จงพิสูจน์ว่า x = 22.5°
พิสูจน์



(1) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ AP = BP   <=>   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠BAP = ∠ABP   <=>   ∠BAP = x   <=>   ∠CAP = 2x
∵ ∠BAP = x และ ∠ABP = x   =>   ∠APC = 2x   <=>   ∠APC = ∠CAP   <=>   ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   AC = CP

(2) พิจารณา ∆ABP ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด
∵ AD = BD   <=>   DP เป็นส่วนสูงของ ∆ABP   <=>   DP ⊥ AB

(3) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ CQ ⊥ AB   <=>   ∠DCQ = 45°   <=>   ∠DCQ = ∠CDQ   <=>   ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   CQ = DQ

(4) กำหนดจุด R บน CQ ที่ทำให้ PR ⊥ CQ   
∵ ∠PDQ = 90°, ∠DQR = 90° และ ∠PRQ = 90°   =>   ∠DPR = 90°   =>   ☐DPRQ เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก   =>   PR // AB   <=>   ∠CPR = ∠ABC   <=>   ∠CPR = x
นอกจากนั้น ยังได้ว่า PR = DQ   <=>   PR = CQ

(5) สังเกตว่า ∆ACQ  ∆CPR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ฉ-ด-ด (∠AQC = ∠CRP = 90°, CQ = PR, AC = CP)   =>   ∠ACQ = ∠CPR   <=>   ∠ACQ = x

พิจารณา ∆ACQ จะได้ว่า 3x + x + 90° = 180°   <=>   x = 22.5°   Q.E.D.



Create Date : 09 มิถุนายน 2557
Last Update : 9 มิถุนายน 2557 10:01:53 น.
Counter : 745 Pageviews.

0 comment
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog