จงพิสูจน์ว่า x = 15°

(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠CBD = 180° - 5x

พิจารณา ∆BCD จะได้ว่า ∠BDC = 3x

(2) สร้างวงกลมล้อมรอบ ∆ABD และกำหนดให้เส้นรอบวงตัดกับ CD ที่จุด P   ⇒   ☐ABPD สามารถแนบในวงกลมได้   ⇒   ∠BAP = ∠BDP, ∠APB = ∠ADB และ ∠APD = ∠ABD   ⇔   ∠BAP = 3x, ∠APB = 3x และ ∠APD = 2x

∵ ∠BAP = ∠APB   ⇔   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   AB = BP

∵ ∠CBP + ∠BCP = ∠BPD   ⇔   ∠CBP + 2x = 5x   ⇔   ∠CBP = 3x

(3) กำหนดจุด Q บน AC ที่ทำให้ BQ = AB   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQB = ∠BAQ   ⇔   ∠AQB = 2x   ⇔   ∠CBQ = x   ⇔   ∠PBQ = 2x   

∵ ∠CBQ = ∠BCQ   ⇔   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   CQ = BQ   ⇔   CQ = AB

(4) สังเกตว่า ☐BPCQ เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี BP = BQ = CQ, ∠B = 2x และ ∠C = x   ⇒   ∠BPC = 120° - x (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 1)

(5) พิจารณา ∆BCP จะได้ว่า ∠CBP + ∠BCP + ∠BPC = 180°   ⇔   3x + 2x + (120° - x) = 180°   ⇔   x = 15°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 10°

(1) ∠ACP = 20° - x และ ∠BPC = 50°

(2) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน BC   ⇒   ∆BCQ ≅ ∆BCP   ⇒   BQ = BP, ∠CBQ = ∠CBP = 30° และ ∠BQC = ∠BPC = 50°

∵ BP = BQ และ ∠PBQ = 60°   ⇒   ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   BP = PQ

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPQ = ∠BQP = 60°   ⇔   ∠CPQ = ∠CQP = 10°

(3) สังเกตว่า ∠CAP = ∠CQP   ⇔   ☐APCQ สามารถแนบในวงกลมได้   ⇒   ∠CAQ = ∠CPQ และ ∠AQP = ∠ACP   ⇔   ∠CAQ = 10° และ ∠AQP = 20° - x

(4) กำหนดจุด R บน AB ที่ทำให้ PR = AP   ⇔   ∆APR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ARP = ∠PAR   ⇔   ∠ARP = 20°   ⇔   ∠BPR = 20° - x

(5) กำหนดจุด S บน AQ ที่ทำให้ PS = AP   ⇔   ∆APS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ASP = ∠PAS   ⇔   ∠ASP = 20°   ⇔   ∠QPS = x

(6) สังเกตว่า ∆BPR ≅ ∆PQS ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠PBR = ∠QPS, BP = PQ, ∠BPR = ∠PQS)   ⇒   BR = PS (= AP)   ⇔   BR = PR   ⇔   ∆BPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   ⇔   ∠PBR = ∠BPR   ⇔   x = 20° - x   ⇔   x = 10°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 20°

(1) ∠ACB = 30° - x, ∠ADB = 60° - x และ ∠BDC = 80° + x

∵ ∠CAD = ∠ACD   ⇔   ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   ⇔   AD = CD

(2) กำหนดจุด P เหนือ CD ที่ทำให้ CP = AB และ ∠DCP = 20° + x

จะเห็นว่า ∆CDP ≅ ∆ABD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CD = AD, ∠DCP = ∠BAD, CP = AB)   ⇒   ∠CDP = ∠ADB และ ∠CPD = ∠ABD   ⇔   ∠CDP = 60° - x และ ∠CPD = 100°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า DP = BD   ⇔   ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 140°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DBP = 20° และ ∠BPD = 20°   ⇔   ∠CBP = 30° และ ∠BPC = 80°

(3) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน BC   ⇒   ∆BCQ ≅ ∆BCP   ⇒   BQ = BP, ∠CBQ = ∠CBP = 30° และ ∠BQC = ∠BPC = 80°

∵ BP = BQ และ ∠PBQ = 60°   ⇒   ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   BP = PQ

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPQ = ∠BQP = 60°   ⇔   ∠CPQ = ∠CQP = 20°

(4) สังเกตว่า ∆BDP ≅ ∆CPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠DBP = ∠CQP, BP = PQ, ∠BPD = ∠CPQ)   ⇒   DP = CP   ⇔   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DCP = ∠CDP   ⇔   20° + x = 60° - x   ⇔   x = 20°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 10°

(1) ∠APB = 120°

(2) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ PQ = BP   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BQP = ∠PBQ   ⇔   ∠BQP = 40°   ⇔   ∠APQ = 20°   ⇔   ∠APQ = ∠PAQ   ⇔   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   AQ = PQ

(3) กำหนดจุด R ใต้ AP ที่ทำให้ ∠PAR = 30° และ ∠APR = 40°   ⇒   ∠QAR = 10°, ∠BPR = 80°, ∠QPR = 20° และ ∠ARP = 110°

♦ ให้ α = 10°

สังเกตว่า ☐AQPR เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี AQ = PQ, ∠QAR = α, ∠QPR = 2α และ ∠ARP = 120° - α   ⇒   PR = PQ (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 3)   ⇔   PR = BP

♦ ∵ ∠ACP + ∠ARP = 180°   ⇔   ☐ACPR สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠PCR = ∠PAR   ⇔   ∠PCR = 30°

(4) สังเกตว่า BP = PR และ ∠BPR = 2(∠BCR)   ⇒   จุด P เป็น circumcenter ของ ∆BCR   ⇒   BP = CP   ⇔   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CBP = ∠BCP   ⇔   x = 10°   Q.E.D.

กำหนดให้ AE = BE

จงพิสูจน์ว่า x = 22.5°

(1) ∠ABC = 90° - 3x

(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ PE ⊥ AB

จะเห็นว่า ∆AEP ≅ ∆BEP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AE = BE, ∠AEP = ∠BEP, EP = EP)   ⇒   ∠EAP = ∠EBP   ⇔   ∠EAP = 90° - 3x   ⇔   ∠APE = 3x

(3) ∵ ∠ACE = ∠APE   ⇔   ☐ACPE สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠EAP = ∠ECP   ⇔   90° - 3x = x   ⇔   x = 22.5°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2 (ไม่ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม)

(1) ∠ABC = 90° - 3x, ∠AEC = 90° - 2x และ ∠BEC = 90° + 2x

(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด B ผ่าน CE   ⇒   ∆CEP ≅ ∆BCE   ⇒   ...

     • CP = BC

     • ∠ECP = ∠BCE   ⇔   ∠ECP = x   ⇔   ∠DCP = x

     • ∠CEP = ∠BEC   ⇔   ∠CEP = 90° + 2x   ⇔   ∠AEP = 4x

     • ∠CPE = ∠CBE   ⇔   ∠CPE = 90° - 3x

     • EP = BE   ⇔   EP = AE   ⇔   ∆AEP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠E (= 4x) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠APE (= ∠EAP) = 90° - 2x   ⇔   ∠APC = x

(3) กำหนดจุด Q เป็นจุดตัดระหว่าง AB และ CP

สังเกตว่า ∆ACD ≅ ∆CDQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠ACD = ∠DCQ, CD = CD, ∠ADC = ∠CDQ)   ⇒   AC = CQ

(4) สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = CQ, ∠ACP = ∠BCQ, CP = BC)   ⇒   ∠APC = ∠CBQ   ⇔   x = 90° - 3x   ⇔   x = 22.5°   Q.E.D.