กำหนดให้ BE = AC + CE

จงพิสูจน์ว่า x = 45°

ให้ AC = a และ CE = b   ⇒   BE = a + b

(1) ∵ ∆ABC เป็น ∆มุมฉาก และจุด D เป็นจุดกึ่งกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก (AB)   ⇒   AD = BD = CD

∵ AD = CD   ⇔   ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด

∵ BD = CD   ⇔   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด

(2) กำหนดจุด P บน AC ที่ทำให้ DP ⊥ AC   ⇒   DP เป็นส่วนสูงของ ∆ACD   ⇒   CP (= AP) = AC/2 = a/2

(3) กำหนดจุด Q บน BC ที่ทำให้ DQ ⊥ BC   ⇒   DQ เป็นส่วนสูงของ ∆BCD   ⇒   CQ (= BQ) = BC/2 = a/2 + b   ⇔   EQ = a/2

(4) พิจารณา ☐CPDQ จะเห็นว่า ∠C = ∠P = ∠Q = 90°   ⇒   ☐CPDQ เป็น ☐มุมฉาก   ⇒   DQ = CP   ⇔   DQ = a/2   ⇔   DQ = EQ   ⇔   ∆DEQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 90°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DEQ (= ∠EDQ) = x = 45°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 10°

พิสูจน์ (โดยคุณ Javi Master Jans)

(1) ∠ACB = 60° และ ∠ADB = 40°

∵ ∠BAD = ∠ABD   ⇔   ∆ABD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   ⇔   AD = BD

(2) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ CP = BC   ⇔   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BPC = ∠CBP   ⇔   ∠BPC = 80°   ⇒   ∠ACP = 40° และ ∠APC = 100°

∵ ∠CAP = ∠ACP   ⇔   ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   AP = CP   ⇔   AP = BC

(3) กำหนดจุด Q เหนือ AP ที่ทำให้ AQ = PQ = AP (= BC)   ⇒   ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠PAQ = 60° และ ∠APQ = 60°   ⇔   ∠DAQ = 10° และ ∠CPQ = 40°

∵ CP = PQ   ⇔   ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 40°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠PCQ = ∠CQP = 70°

(4) สังเกตว่า ∆ADQ ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BD, ∠DAQ = ∠CBD, AQ = BC)   ⇒   ∠ADQ = ∠BDC   ⇔   ∠ADQ = x   ⇔   ∠BDQ = 40° - x

นอกจากนั้น ยังได้ว่า DQ = CD   ⇔   ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 40°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DCQ = ∠CQD = 70°

(5) สังเกตว่า ∆CDQ ≅ ∆CPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠DCQ = ∠PCQ, CQ = CQ, ∠CQD = ∠CQP)   ⇒   CD = CP   ⇔   CD = BC   ⇔   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BDC = ∠CBD   ⇔   x = 10°   Q.E.D.

กำหนดให้ AC = BD + CD

จงพิสูจน์ว่า x = 40°

(1) ∠CAD = x = 60° - α

(2) ต่อ CD ออกไปยังจุด P โดยที่ DP = BD   ⇒   ∠BDP = 120°

∵ BD = DP   ⇔   ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 120°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BPD (= ∠DBP) = 30°

∵ CP = CD + DP   ⇔   CP = CD + BD   ⇔   CP = AC   ⇔   ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= α) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CAP (= ∠APC) = 90° - α/2   ⇔   ∠BAP = 30° + α/2

(3) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด C ผ่าน BP   ⇒   ∆BPQ ≅ ∆BCP   ⇒   BQ = BC, PQ = CP, ∠BPQ = ∠BPC = 30° และ ∠BQP = ∠BCP = α

∵ CP = PQ และ ∠CPQ = 60°   ⇒   ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   CP = CQ และ ∠PCQ = 60°

(4) สังเกตว่า AC = CP = CQ   ⇔   จุด C เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆APQ แนบใน   ⇒   ∠PAQ = (∠PCQ)/2   ⇔   ∠PAQ = 30°   ⇔   ∠BAQ = α/2   

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AQP = (∠ACP)/2   ⇔   ∠AQP = α/2   ⇔   ∠AQB = α/2   ⇔   ∠AQB = ∠BAQ   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   AB = BQ   ⇔   AB = BC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BAC = ∠ACB   ⇔   60° - α = 2α   ⇔   α = 20°   ⇔   x = 40°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 18°

(1) ∠ACD = 30° - x และ ∠BCD = x

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆BCD แนบใน   ⇒   ...

     • BO = CO = DO

     • ∠BOC = 2(∠BDC)   ⇔   ∠BOC = 60°

     • ∠BOD = 2(∠BCD)   ⇔   ∠BOD = 2x

∵ BO = CO และ ∠BOC = 60°   ⇒   ∆BCO เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   CO = BC   ⇔   DO = AD

∵ CO = DO   ⇔   ∆CDO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 60° + 2x) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DCO = 60° - x (⇔ ∠ACO = 30°) และ ∠CDO = 60° - x

(3) สังเกตว่า ∆ACO ≅ ∆ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AC, ∠ACO = ∠ACB, CO = BC)   ⇒   ∠CAO = ∠BAC   ⇔   ∠CAO = x

∵ AD = DO   ⇔   ∆ADO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AOD = ∠DAO   ⇔   ∠AOD = 2x

พิจารณา ∆ADO จะได้ว่า ∠DAO + ∠AOD = ∠BDO   ⇔   2x + 2x = 90° - x   ⇔   x = 18°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 70°

(1) ต่อ CB ออกไปยังจุด P โดยที่ ∠BAP = 30°

พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ABP = 70°

พิจารณา ☐ADCP จะเห็นว่า ∠DAP + ∠DCP = 180°   ⇔   ☐ADCP สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠ADP = ∠ACP   ⇔   ∠ADP = 60°

(2) ∵ ∠DAP = ∠ADP = 60°   ⇒   ∆ADP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AD = AP

สังเกตว่า ∆ABD ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AB = AB, ∠BAD = ∠BAP, AD = AP)   ⇒   ∠ABD = ∠ABP   ⇔   x = 70°   Q.E.D.