(1) ∠ADB = 80° และ ∠BCD = 80°

(2) สร้างวงกลมล้อมรอบ ∆ABD และกำหนดให้เส้นรอบวงตัดกับ CD ที่จุด Q   ⇒   ☐ABQD สามารถแนบในวงกลมได้   ⇒   ∠BAQ = ∠BDQ และ ∠AQB = ∠ADB   ⇔   ∠BAQ = 30° และ ∠AQB = 80°   ⇒   ∠ABQ = 70°

(3) กำหนดจุด R เป็นภาพสะท้อนของจุด Q ผ่าน AB   ⇒   ∆ABR ≅ ∆ABQ   ⇒   ...

     • AR = AQ

     • ∠BAR = ∠BAQ   ⇔   ∠BAR = 30°

     • ∠ABR = ∠ABQ   ⇔   ∠ABR = 70°   ⇔   ∠CBR = 180°   ⇔   จุด C จุด B และจุด R อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

     • ∠ARB = ∠AQB   ⇔   ∠ARB = 80°

∵ AQ = AR และ ∠QAR = 60°   ⇒   ∆AQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AR = QR

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ARQ = 60°   ⇔   ∠CRQ = 20°

(4) พิจารณา ∆CQR จะได้ว่า ∠CQR = 80°   ⇔   ∠CQR = ∠QCR   ⇔   ∆CQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด   ⇔   CR = QR   ⇔   CR = AR   ⇔   ∆ACR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R (= 80°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ACR (= ∠CAR) = 50°

พิจารณา ∆BCP จะได้ว่า ∠BPC = x = 60°   Q.E.D.

(1) ∠BAC = 30° - x, ∠BCD = 150° - x และ ∠ACB (มุมกลับ) = 210°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน   ⇒   ...

     • AO = CO = DO

     • ∠AOD = 2(∠ACD)   ⇔   ∠AOD = 2x

     • ∠COD = 2(∠CAD)   ⇔   ∠COD = 60° - 2x

∵ AO = CO และ ∠AOC = 60°   ⇒   ∆ACO เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AC = CO   ⇔   BD = DO

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ACO = 60°

(3) กำหนดจุด P เหนือ AC ที่ทำให้ CP = CD และ ∠ACP = 60° + x (⇔ ∠BCP = 150° - x)   ⇒   ∆ACP ≅ ∆CDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = CO, ∠ACP = ∠DCO, CP = CD)   ⇒   AP = DO และ ∠CAP = ∠COD   ⇔   AP = BD และ ∠CAP = 60° - 2x

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∆BCP ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = BC, ∠BCP = ∠BCD, CP = CD)   ⇒   BP = BD และ ∠CBP = ∠CBD   ⇔   BP = AP และ ∠CBP = x

∵ AP = BP   ⇔   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BAP = ∠ABP   ⇔   90° - 3x = 2x   ⇔   x = 18°   Q.E.D.

(1) ∠ADC = 8x และ ∠BDC = 180° - 8x

(2) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ CP = CD   ⇔   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CPD = ∠CDP   ⇔   ∠CPD = 8x   ⇔   ∠ACP = 4x   ⇔   ∠ACP = ∠CAP   ⇔   ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   AP = CP

∴ AP = CD = CP

(3) กำหนดจุด Q เหนือ AB ที่ทำให้ ∠DBQ = 4x และ ∠BDQ = 4x   ⇔   ∠CBQ = x และ ∠CDQ = 180° - 12x

จะเห็นว่า ∆BDQ ≅ ∆ACP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠DBQ = ∠CAP, BD = AC, ∠BDQ = ∠ACP)   ⇒   BQ = AP และ DQ = CP

∴ BQ = CD = DQ

∵ CD = DQ   ⇔   ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 180° - 12x) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DCQ (= ∠CQD) = 6x   ⇔   ∠BCQ = x   ⇔   ∠BCQ = ∠CBQ   ⇔   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   BQ = CQ

∴ CD = CQ = DQ   ⇔   ∆CDQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠DCQ = 60°   ⇔   6x = 60°   ⇔   x = 10°   Q.E.D.

(1) ∵ ☐ABCD เป็น ☐จัตุรัส   ⇒   AD = CD, ∠ADC = 90° และ ∠ACD = 45°

∵ AC // DE   ⇔   ∠CDE = ∠ACD   ⇔   ∠CDE = 45°

(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด A ผ่าน DE   ⇒   ∆DEP ≅ ∆ADE   ⇒   ...

     • DP = AD   ⇔   DP = CD

     • EP = AE

     • ∠EDP = ∠ADE   ⇔   ∠EDP = 135°   ⇔   ∠ADP = 90°

     • ∠DEP = ∠AED   ⇔   ∠DEP = x

(3) สังเกตว่า ∆ADP ≅ ∆ACD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = AD, ∠ADP = ∠ADC, DP = CD)   ⇒   AP = AC   ⇔   AP = AE

∴ AE = AP = EP   ⇔   ∆AEP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠AEP = 60°   ⇔   2x = 60°   ⇔   x = 30°   Q.E.D.

(1) ∠ABD = 60° - α

(2) ต่อ DA ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = AC   ⇒   ∠BAP = 60°

จะเห็นว่า ∆ABP ≅ ∆ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AB = AB, ∠BAP = ∠BAC, AP = AC)   ⇒   ∠ABP = ∠ABC   ⇔   ∠ABP = 90° - α

นอกจากนั้น ยังได้ว่า BP = BC   ⇔   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 180° - 2α) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BCP = ∠BPC = α

(3) สังเกตว่า ∠BCP = ∠BDP   ⇔   ☐BCDP สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠BDC = ∠BPC   ⇔   x = α   Q.E.D.