จงพิสูจน์ว่า x = 50°

(1) พิจารณา ∆BCD จะได้ว่า ∠BDC = 115°   <=>   ∠ADC = 65°

(2) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ CP = CD   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠CPD = ∠CDP   <=>   ∠CPD = 65°   <=>   ∠DCP = 50°   <=>   ∠BCP = 65°

สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = BD, ∠APC = ∠BDC, CP = CD)   =>   ∠CAP = ∠CBD   <=>   x = 50°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 20°

(1) ∠ADC = 150°

(2) กำหนดจุด P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน   <=>   AP = CP = DP

∵ ∠APC (มุมใหญ่) = 2(∠ADC) = 300°   <=>   ∠APC (มุมเล็ก) = 60°

∵ AP = CP   <=>   ∆APC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠PAC = ∠ACP = 60°

∴ ∠PAC = ∠ACP = ∠APC   <=>   ∆APC เป็น ∆ด้านเท่า   =>   CP = AC   <=>   CP = BD   <=>   DP = BD

∵ ∠CPD = 2(∠CAD)   <=>   ∠CPD = 2x

∵ CP = DP   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠DCP (= ∠CDP) = 90° - x

(3) กำหนดจุด P' เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน CD   =>   ∆CDP' ≅ ∆CDP

จะได้ว่า 

• ∠CP'D = ∠CPD   <=>   ∠CP'D = 2x

• ∠DCP' = DCP   <=>   ∠DCP' = 90° - x

• DP' = DP   <=>   DP' = BD   <=>   ∆BDP' เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>  ∠DBP' = ∠BP'D 

สังเกตว่า ∠CBD = ∠CP'D   <=>   ☐BCDP' สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠BP'C = ∠BDC   <=>   ∠BP'C = 30°   <=>   ∠BP'D = 2x + 30°   <=>   ∠DBP' = 2x + 30°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠DBP' = ∠DCP'   <=>   ∠DBP' = 90° - x   <=>   2x + 30° = 90° - x   <=>   x = 20°   Q.E.D.

หมายเหตุ เราสามารถแสดงว่าจุด P' อยู่ใต้เส้น AB ได้ดังนี้

∵ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°   <=>   x + 2x + ∠ACB = 180°   =>   3x < 180°   <=>   x < 60°   <=>   90° - x > 30°   <=>   ∠CDP > 30°   <=>   ∠CDP' > 30°   <=>   ∠CDP' > ∠BDC

จงพิสูจน์ว่า x = 10°

(1) ∵ ∠ABD = ∠BDC   <=>   AB // CD   <=>   ∠ACD = ∠BAC   <=>   ∠ACD = 4x

(2) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ AP = AD

จะเห็นว่า ∆ACP ≅ ∆ACD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AD, ∠CAP = ∠CAD, AC = AC)   =>   ∠ACP = ∠ACD   <=>   ∠ACP = 4x   <=>   ∠BPC = 8x

นอกจากนั้น ยังได้ว่า CP = CD

(3) กำหนดจุด Q บน BD ที่ทำให้ CQ = CD   <=>   ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠CQD = ∠CDQ   <=>   ∠CQD = 2x   <=>   ∠BCQ = x   <=>   ∠BCQ = ∠CBQ   <=>   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   BQ = CQ   <=>   BQ = CD

(4) พิจารณา ∆CDQ จะได้ว่า ∠PCQ = 180° - 12x

(5) ∵ CP = CD และ CQ = CD   =>   CP = CQ   <=>   ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠CPQ (= ∠CQP) = 6x   <=>   ∠BPQ = 2x   <=>   ∠BPQ = ∠PBQ   <=>   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   <=>   PQ = BQ   <=>   PQ = CD

∴ CP = CQ = PQ   <=>   ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   ∠CPQ = 60°   <=>   6x = 60°   <=>   x = 10°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 150° และ y = 30°

(1) พิจารณา ∆ACP จะได้ว่า ∠APC = x = 180° - (α + β)

(2) ∵ AC = BC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ABC = ∠BAC   ⇔   ∠ABC = 90° - 2β   ⇔   ∠ABP = y = 90° - 2(α + β)

(3) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ CQ ⊥ AB และให้จุด R เป็นจุดตัดระหว่าง CQ และ BP   

∵ CQ ⊥ AB   ⇔   CQ เป็นส่วนสูงของ ∆ABC   ⇔   ∠ACR (= ∠BCR) = 2β   ⇔   ∠PCR = β   ⇔   ∠PCR = ∠ACP

พิจารณา ∆BCR จะได้ว่า ∠BRC = 180° - 2(α + β)

จะเห็นว่า ∆ACR ≅ ∆BCR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = BC, ∠ACR = ∠BCR, CR = CR)   ⇒   ∠CAR = ∠CBR   ⇔   ∠CAR = 2α   ⇔   ∠PAR = α   ⇔   ∠PAR = ∠PAC

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ARC = ∠BRC   ⇔   ∠ARC = 180° - 2(α + β)

(4) พิจารณา ∆ACR จะเห็นว่า มีจุด P เป็นจุดภายในที่ทำให้ AP และ CP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠CAR และ ∠ACR ตามลำดับ   ⇒   จุด P เป็น incenter ของ ∆ACR   ⇒   PR เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ARC   ⇒   ∠CRP = (∠ARC)/2 = 90° - (α + β)

∵ ∠BRC + ∠CRP = 180°   ⇔   [180° - 2(α + β)] + [90° - (α + β)] = 180°   ⇔   α + β = 30°   ⇒   x = 150° และ y = 30°   Q.E.D.

โจทย์ที่นำมาเสนอใน blog นี้ เป็นโจทย์จากข้อสอบ PAT1 (เม.ย. 57) ข้อที่ 11 ซึ่งเป็นโจทย์เรื่องตรีโกณมิติ 

อย่างไรก็ตาม จขบ. จะแสดงวิธีพิสูจน์คำตอบโดยใช้วิธีทางเรขาคณิต

จงพิสูจน์ว่า a² = b² + bc

(1) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ AP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠BAC   <=>   ∠BAP (= ∠CAP) = x   <=>   ∠APC = 2x   

นอกจากนั้น ∠BAP = x   <=>   ∠BAP = ∠ABP   <=>   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   AP = BP

(2) จะเห็นว่า ∆ABC ~ ∆APC (∠BAC = ∠APC, ∠ABC = ∠CAP, ∠ACB = ∠ACP)   <=>   AB/AP = BC/AC = AC/CP

∵ BC/AC = AC/CP   <=>   a/b = b/CP   <=>   CP = b²/a   <=>   BP = a - b²/a   <=>   AP = a - b²/a

∵ AB/AP = BC/AC   <=>   c/(a - b²/a) = a/b   <=>   a² = b² + bc   Q.E.D.