(1) ∠ACB = 60° และ ∠APB = 78°

∵ ∠BAC = ∠ABC = ∠ACB   ⇔   ∆ABC เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AB = BC

(2) กำหนดจุด Q บน AP ที่ทำให้ BQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ABC   ⇒   ∠CBQ (= ∠ABQ) = (∠ABC)/2 = 30°   ⇔   ∠PBQ = 24°

จะเห็นว่า ∆ABQ ≅ ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AB = BC, ∠ABQ = ∠CBQ, BQ = BQ)   ⇒   ∠BCQ = ∠BAQ   ⇔   ∠BCQ = 48°   ⇔   ∠ACQ = 12°

พิจารณา ∆ACQ จะได้ว่า ∠CQP = 24°

พิจารณา ∆BPQ จะได้ว่า ∠BQP = 78°   ⇔   ∠BQP = ∠BPQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   BP = BQ

(3) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆BCQ แนบใน   ⇒   BO = CO = OQ

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠COQ = 2(∠CBQ)   ⇔   ∠COQ = 60°

∵ CO = OQ และ ∠COQ = 60°   ⇒   ∆COQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   CO = CQ, ∠OCQ = 60° (⇔ ∠BCO = 12°) และ ∠CQO = 60° (⇔ ∠OQP = 36°)

∵ BO = CO   ⇔   ∆BCO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CBO = ∠BCO   ⇔   ∠CBO = 12°

(4) กำหนดจุด R เหนือ BQ ที่ทำให้ BR = QR = BQ (= BP)   ⇔   ∆BQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠QBR = 60° (⇔ ∠OBR = 18°) และ ∠BRQ = 60°

จะเห็นว่า ∆BOR ≅ ∆OQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BO = OQ, BR = QR, OR = OR)   ⇒   ∠BRO (= ∠ORQ) = (∠BRQ)/2 = 30°

สังเกตว่า ∆BOP ≅ ∆BOR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BO = BO, ∠OBP = ∠OBR, BP = BR)   ⇒   ∠BPO = ∠BRO   ⇔   ∠BPO = 30°

(5) พิจารณา ∆OPQ จะได้ว่า ∠POQ = 36°   ⇔   ∠POQ = ∠OQP   ⇔   ∆OPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   OP = PQ

สังเกตว่า ∆COP ≅ ∆CPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (CO = CQ, CP = CP, OP = PQ)   ⇒   ∠OCP (= ∠PCQ) = (∠OCQ)/2 = 30°   ⇔   ∠BCP = x = 18°   Q.E.D.

(1) ∠CAP = 90° - x

พิจารณา ∆ACP จะได้ว่า ∠APC = 90° - x   ⇔   ∠APC = ∠CAP   ⇔   ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   CP = AC   ⇔   CP = AB

∵ AB = AC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 90°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ABC = ∠ACB = 45°   ⇔   ∠ABP = ∠BCP = 45° - 2x

(2) ต่อ BP ออกไปยังจุด Q โดยที่ AQ = AB   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQB = ∠ABQ   ⇔   ∠AQB = 45° - 2x   ⇒   ∠BAQ = 90° + 4x   ⇔   ∠CAQ = 4x

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CPQ = 45°

(3) ∵ AQ = AB   ⇔   AQ = AC   ⇔   ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 4x) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQC (= ∠ACQ) = 90° - 2x   ⇔   ∠CQP = 45°   ⇔   ∠CQP = ∠CPQ   ⇔   ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   CQ = CP   ⇔   CQ = AB

สังเกตว่า AC = AQ = CQ   ⇔   ∆ACQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠CAQ = 60°   ⇔   4x = 60°   ⇔   x = 15°   Q.E.D.

(1) ∠ABC = 40°

(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน   ⇔   AO = BO = CO

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BOC = 2(∠BAC)   ⇔   ∠BOC = 60°

(3) สังเกตว่า ∠OAP = ∠OCP   ⇔   ☐ACPO สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠COP = ∠CAP   ⇔   ∠COP = 20°

สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆COP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = CO, ∠BCP = ∠OCP, CP = CP)   ⇒   ∠CBP = ∠COP   ⇔   ∠CBP = 20°   ⇔   ∠ABP = x = 20°   Q.E.D.

(1) ∠ACB = 40° และ ∠APB = 70°

∵ ∠ABP = ∠APB   ⇔   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   AB = AP

(2) กำหนดจุด Q บน BC ที่ทำให้ AQ = AB   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQB = ∠ABQ   ⇔   ∠AQB = 80°   ⇒   ∠CAQ = 40° (⇔ ∠PAQ = 20°) และ ∠AQC = 100°

∵ ∠CAQ = ∠ACQ   ⇔   ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   AQ = CQ

(3) ให้ α = 10°

สังเกตว่า ☐APCQ เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี AP = AQ = CQ, ∠A = 2α และ ∠Q = 120° - 2α   ⇒   ∠PCQ = α (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 3) ⇔   ∠PCQ = 10°   ⇔   ∠ACP = x = 30°   Q.E.D.