Fun Geometry Problem with Solution #32
โจทย์ 1



กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า x = 120° - 2α
พิสูจน์



(1) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = CP
สังเกตว่า ∆CDP  ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (CD = AD, CP = AP, DP = DP)      ∠DCP = ∠DAP      ∠DCP = α      ∠BCP = α

(2) สังเกตว่า ∆BCP  ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = CD, ∠BCP = ∠DCP, CP = CP)
∴ ∆ADP  ∆BCP  ∆CDP      ∠APD = ∠BPC = ∠CPD
∵ ∠APD + ∠BPC + ∠CPD = 360°      ∠APD = 120° และ ∠CPD = 120°
พิจารณา ∆ADP และ ∆CDP จะได้ว่า ∠ADP = 60° - α และ ∠CDP = 60° - α      ∠ADC = x = 120° - 2α   Q.E.D.



โจทย์ 2


กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า AD = BC = CD
พิสูจน์



(1) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = CP
สังเกตว่า ∆CDP  ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (CD = AD, CP = AP, DP = DP)      ∠DCP = ∠DAP      ∠DCP = α      ∠BCP = α
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CDP = ∠ADP
∵ ∠ADP + ∠CDP = 120° - 2α      ∠ADP = 60° - α และ ∠CDP = 60° - α
พิจารณา ∆ADP และ ∆CDP จะได้ว่า ∠APD = 120° และ ∠CPD = 120°
∵ ∠APD + ∠BPC + ∠CPD = 360°      ∠BPC = 120°

(2) สังเกตว่า ∆BCP  ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BCP = ∠DCP, CP = CP, ∠BPC = ∠CPD)      BC = CD
∴ AD = BC = CD   Q.E.D.



โจทย์ 3



กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า x = α
พิสูจน์



(1) ∵ AD = CD      ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 120° - 2α) เป็นมุมยอด      ∠CAD = 30° + α และ ∠ACD = 30° + α (⇔ ∠ACB = 30° - α)

(2) กำหนดจุด P เหนือ AC ที่ทำให้ AP = CP = AC      ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า      ∠ACP = 60° ( ∠DCP = 30° - α) และ ∠APC = 60°
จะเห็นว่า ∆CDP  ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (CD = AD, CP = AP, DP = DP)      ∠CPD = ∠APD = (∠APC)/2 = 30°

(3) สังเกตว่า ∆ABC  ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = CP, ∠ACB = ∠DCP, BC = CD)      ∠BAC = ∠CPD      ∠BAC = 30°      ∠BAD = x = α   Q.E.D.

ดูโจทย์ทั้งหมด Click !!



Create Date : 27 กรกฎาคม 2557
Last Update : 19 มีนาคม 2558 15:50:51 น.
Counter : 862 Pageviews.

0 comments
ชื่อ :
Comment :
 *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 

TIYHz
Location :
กรุงเทพฯ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
 ฝากข้อความหลังไมค์
 Rss Feed
 Smember
 ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [?]



จุดประสงค์ที่ทำบล็อกคณิตศาสตร์ขึ้นมา... ก็ไม่มีอะไรมากครับ แค่อยากให้ประเทศเรามีอะไรแบบนี้บ้าง
All Blog