โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 30°
พิสูจน์
(1) ∵ AD = CD ⇔ ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 4α) เป็นมุมยอด ⇔ ∠ACD (= ∠CAD) = 90° - 2α ⇔ ∠CBD = 60° - α
(2) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ DP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ADC ⇔ ∠ADP = (∠ADC)/2 = 2α ⇔ ∠ADP = 2(∠ADB) ⇔ BD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ADP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CDP = 2α ⇔ ∠CPD = 60°
สังเกตว่า ∆ADP ≅ ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = CD, ∠ADP = ∠CDP, DP = DP) ⇒ ∠APD = ∠CPD ⇔ ∠APD = 60° ⇔ ∠DAP = 120° - 2α
(3) กำหนดจุด Q บน BD ที่ทำให้ PQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠APD ⇔ ∠APQ = (∠APD)/2 = 30°
พิจารณา ∆ADP จะเห็นว่า มีจุด Q เป็นจุดภายในที่ทำให้ DQ และ PQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ADP และ ∠APD ตามลำดับ ⇒ จุด Q เป็น incenter ของ ∆ADP ⇒ AQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠DAP ⇒ ∠PAQ = (∠DAP)/2 = 60° - α ⇔ ∠PAQ = ∠PBQ ⇔ ☐ABPQ สามารถแนบในวงกลมได้ ⇔ ∠ABQ = ∠APQ ⇔ x = 30° Q.E.D.