จงพิสูจน์ว่า x = 20°

     • ∠AOD = 2(∠ACD)   ⇔   ∠AOD = 2x

     • ∠COD = 2(∠CAD)   ⇔   ∠COD = 100° - 2x

∵ AO = CO   ⇔   ∆ACO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 100°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CAO = ∠ACO = 40°   ⇔   ∠BAO = ∠BCO = 20°   ⇒   ☐ACBO สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠ABO = ∠ACO   ⇔   ∠ABO = 40°

(3) กำหนดจุด P บน AC ที่ทำให้ CP = BC

∵ BC = CP และ ∠BCP = 60°   ⇒   ∆BCP เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   BP = CP, ∠CBP = 60° (⇔ ∠ABP = 40°) และ ∠BPC = 60°

∵ BP = CP และ ∠BPC = 2(∠BDC)   ⇒   จุด P เป็น circumcenter ของ ∆BCD   ⇒   CP = DP   ⇔   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CDP = ∠DCP   ⇔   ∠CDP = x

(4) สังเกตว่า ∆ABO ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BAO = ∠BAP, AB = AB, ∠ABO = ∠ABP)   ⇒   AO = AP   ⇔   ∆AOP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 40°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠APO (= ∠AOP) = 70°

สังเกตว่า ∆DOP ≅ ∆COP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (DO = CO, DP = CP, OP = OP)   ⇒   ∠ODP = ∠OCP (= 40°)   ⇔   ∠ODP = ∠OAP   ⇔   ☐ADPO สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠ADO = ∠APO   ⇔   ∠ADO = 70°

(5) พิจารณา ∠ADC จะได้ว่า 110° + x = 130°   ⇔   x = 20°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า cos36° - cos72° = 1/2 โดยใช้วิธีทางเรขาคณิต

(2) กำหนดจุด D บน AB ที่ทำให้ AD = L   ⇔   AD = AC   ⇔   ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 36°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ADC (= ∠ACD) = 72°   ⇔   ∠BCD = 36°   ⇔   ∠BCD = ∠CBD   ⇔   ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   ⇔   BD = CD

∵ AB - BD = AD   ⇔   2Lcos36° - 2Lcos72° = L   ⇔   cos36° - cos72° = 1/2   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 60°

(1) ∠ACB = 10° และ ∠ADB = 20°

ให้ AB = L

(2) กำหนดจุด P บน AC ที่ทำให้ BP = L   ⇔   BP = AB   ⇔   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   ∠APB = ∠BAP   ⇔   ∠APB = 20°   ⇒   ∠ABP = 140°, ∠CBP = 10° และ ∠DBP = 30°

∵ ∠CBP = ∠BCP   ⇔   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   CP = BP   ⇔   CP = L

(3) กำหนดจุด Q บน AD ที่ทำให้ BQ = L   ⇔   BQ = AB   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQB = ∠BAQ   ⇔   ∠AQB = 50°   ⇔   ∠DBQ = 30°

∵ BP = BQ และ ∠PBQ = 60°   ⇒   ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   PQ = BP   ⇔   PQ = L

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPQ = 60°   ⇔   ∠APQ = 40°   ⇒   ∠CPQ = 140° และ ∠DQP = 70°

(4) สังเกตว่า ∆BDP ≅ ∆BDQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BD = BD, ∠DBP = ∠DBQ, BP = BQ)   ⇒   ∠BDP = ∠BDQ   ⇔   ∠BDP = 20°

พิจารณา ∆DPQ จะได้ว่า ∠DPQ = 70°   ⇔   ∠CPD = 70°

(5) สังเกตว่า ∆CDP ≅ ∆DPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CP = PQ, ∠CPD = ∠DPQ, DP = DP)   ⇒   ∠CDP = ∠PDQ   ⇔   ∠CDP = 40°   ⇔   ∠BDC = x = 60°   Q.E.D.

กำหนดให้ DE = a + b + c, DF = a + b และ EF = a

จงพิสูจน์ว่า x = 20°

(1) ∠ACB = 40°

(2) ต่อ AC ออกไปยังจุด P โดยที่ CP = a   ⇒   ∠BCP = 140°

∵ BC = CP   ⇔   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 140°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CBP = ∠BPC = 20°

∵ ∠BAP = ∠ABP   ⇔   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   BP = AP   ⇔   BP = a + b

(3) ต่อ CA ออกไปยังจุด Q โดยที่ AQ = c   ⇒   ∠BAQ = 100°

∵ AB = AQ   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 100°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQB (= ∠ABQ) = 40°

∵ ∠BCQ = ∠BQC   ⇔   ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   BQ = BC   ⇔   BQ = a

(4) สังเกตว่า ∆DEF ≅ ∆BPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (DE = PQ, DF = BP, EF = BQ)   ⇒   ∠EDF = ∠BPQ   ⇔   x = 20°   Q.E.D.

จงพิสูจน์ว่า x = 40°

(1) ∠ACB = 110°

(2) ต่อ BC ออกไปยังจุด Q โดยที่ BQ = AQ   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BAQ = ∠ABQ   ⇔   ∠BAQ = 50°   ⇒   ∠PAQ = 40° และ ∠AQB = 80°

(3) ให้ α = 20°

จะเห็นว่า ☐APBQ เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี AQ = BQ, ∠B = α, ∠A = 2α และ ∠Q = 120° - 2α   ⇒   AP = AQ (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 2)   ⇔   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 40°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQP (= ∠APQ) = 70°  ⇔  ∠BQP = 10°

(4) ∵ ∠CAP = ∠CQP   ⇔   ☐APCQ สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠ACP = ∠AQP   ⇔   ∠ACP = 70°   ⇔   ∠BCP = x = 40°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2 (ไม่ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม)

(1) ∠ACB = 110°

(4) ต่อ CQ ออกไปยังจุด R โดยที่ AR = AC   ⇔   ∆ACR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ARC = ∠ACR   ⇔   ∠ARC = 70°   ⇔   ∠QAR = 10°

(5) สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆AQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AR, ∠CAP = ∠QAR, AP = AQ)   ⇒   ∠ACP = ∠ARQ   ⇔   ∠ACP = 70°   ⇔   ∠BCP = x = 40°   Q.E.D.