จงพิสูจน์ว่า x = 40°

(1) ∠ACB = 110°

(2) ต่อ BC ออกไปยังจุด Q โดยที่ BQ = AQ   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BAQ = ∠ABQ   ⇔   ∠BAQ = 50°   ⇒   ∠PAQ = 40° และ ∠AQB = 80°

(3) ให้ α = 20°

จะเห็นว่า ☐APBQ เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี AQ = BQ, ∠B = α, ∠A = 2α และ ∠Q = 120° - 2α   ⇒   AP = AQ (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 2)   ⇔   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 40°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠AQP (= ∠APQ) = 70°  ⇔  ∠BQP = 10°

(4) ∵ ∠CAP = ∠CQP   ⇔   ☐APCQ สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠ACP = ∠AQP   ⇔   ∠ACP = 70°   ⇔   ∠BCP = x = 40°   Q.E.D.

พิสูจน์ 2 (ไม่ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม)

(1) ∠ACB = 110°

(4) ต่อ CQ ออกไปยังจุด R โดยที่ AR = AC   ⇔   ∆ACR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ARC = ∠ACR   ⇔   ∠ARC = 70°   ⇔   ∠QAR = 10°

(5) สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆AQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AR, ∠CAP = ∠QAR, AP = AQ)   ⇒   ∠ACP = ∠ARQ   ⇔   ∠ACP = 70°   ⇔   ∠BCP = x = 40°   Q.E.D.