จงพิสูจน์ว่า AP + BP = AB + CP

(1) ∠ACB = 100°

(2) กำหนดจุด Q บน BP ที่ทำให้ ∠BAQ = 30°   ⇒   ∠PAQ = 10° และ ∠AQP = 50°

พิจารณา ∆ABC จะเห็นว่า มีจุด Q เป็นจุดภายในที่ทำให้ ∠CAQ = 20°, ∠BAQ = 30°, ∠ABQ = 20° และ ∠CBQ = 10°   ⇒   ∠BCQ = 40° (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์)   ⇔   ∠ACQ = 60°

(3) พิจารณา ∆BCQ จะได้ว่า ∠CQP = 50°

พิจารณา ∆ACQ จะเห็นว่า มีจุด P เป็นจุดภายในที่ทำให้ AP และ PQ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠CAQ และ ∠AQC ตามลำดับ   ⇒   จุด P เป็น incenter ของ ∆ACQ   ⇒   CP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ACQ   ⇒   ∠PCQ (= ∠ACP) = (∠ACQ)/2 = 30°

(4) ต่อ AP ออกไปยังจุด R โดยที่ PR = BP   ⇒   ∠BPR = 60°

∵ BP = PR และ ∠BPR = 60°   ⇒   ∆BPR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   BP = BR และ ∠BRP = 60°

(5) ต่อ AB ออกไปยังจุด S โดยที่ AS = AR   ⇔   ∆ARS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 40°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ARS = 70° (⇔ ∠BRS = 10°) และ ∠ASR = 70°

สังเกตว่า ∆BRS ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ม-ด (∠BSR = ∠BCP, ∠BRS = ∠CBP, BR = BP)   ⇒   BS = CP

∵ AR = AS   ⇔   AP + PR = AB + BS   ⇔   AP + BP = AB + CP   Q.E.D.