โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 45°
พิสูจน์ 1
(1) พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠ACB = 135°
(2) กำหนดจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ABC แนบใน => ...
AO = BO = CO
∠BOC = 2(∠BAC) = 60°
∠AOB (มุมใหญ่) = 2(∠ACB) = 270° <=> ∠AOB (มุมเล็ก) = 90°
(3) ∵ BO = CO <=> ∆BCO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 60°) เป็นมุมยอด <=> ∠CBO = ∠BCO = 60°
∴ ∆BCO เป็น ∆ด้านเท่า => BC = CO
(4) ∵ AO = BO <=> ∆ABO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 90°) เป็นมุมยอด <=> ∠ABO (= ∠BAO) = 45°
พิจารณา ∆ABO ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด
∵ AD = BD <=> DO เป็นส่วนสูงของ ∆AOB <=> ∠BOD = (∠AOB)/2 = 45° <=> ∠BOD = ∠DBO <=> ∆BDO เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด <=> BD = DO
(5) สังเกตว่า ∆BCD ≅ ∆CDO ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = CO, BD = DO, CD = CD) => ∠BCD (= ∠DCO) = (∠BCO)/2 = 30° <=> ∠ADC = x = 45° Q.E.D.
พิสูจน์ 2
(1) ต่อ AC ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = BP <=> ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด <=> ∠ABP = ∠BAP <=> ∠ABP = 30° <=> ∠CBP = 15° <=> ∠CBP = ∠ABC
พิจารณา ∆ABP ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด
∵ AD = BD <=> DP เป็นส่วนสูงของ ∆ABP => ∠ADP = 90° และ ∠BDP = 90° <=> ∠APD = 60° และ ∠BPD = 60°
(2) ต่อ BP ออกไปยังจุด Q (ตามใจชอบ) => ∠APQ = 60° <=> ∠APQ = ∠APD
(3) พิจารณา ∆BDP จะเห็นว่า...
AP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠DPQ (มุมภายนอก)
BC เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠DBP (มุมภายใน)
AP และ BC พบกันที่จุด C
=> จุด C เป็น excenter ตรงข้ามจุด B (ศึกษาเพิ่มเติมได้ ที่นี่) => CD เป็นเส้นแบ่งครึ่ง
∠ADP (มุมภายนอก) <=>
∠ADC (=
∠CDP) = (
∠ADP)/2 = 45
° <=> x = 45
° Q.E.D. 
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [
