โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์ (โดยคุณ Javi Master Jans)
(1) ∠ACB = 60° และ ∠ADB = 40°
∵ ∠BAD = ∠ABD ⇔ ∆ABD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด ⇔ AD = BD
(2) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ CP = BC ⇔ ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ ∠BPC = ∠CBP ⇔ ∠BPC = 80° ⇒ ∠ACP = 40° และ ∠APC = 100°
∵ ∠CAP = ∠ACP ⇔ ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ AP = CP ⇔ AP = BC
(3) กำหนดจุด Q เหนือ AP ที่ทำให้ AQ = PQ = AP (= BC) ⇒ ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ ∠PAQ = 60° และ ∠APQ = 60° ⇔ ∠DAQ = 10° และ ∠CPQ = 40°
∵ CP = PQ ⇔ ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 40°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠PCQ = ∠CQP = 70°
(4) สังเกตว่า ∆ADQ ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BD, ∠DAQ = ∠CBD, AQ = BC) ⇒ ∠ADQ = ∠BDC ⇔ ∠ADQ = x ⇔ ∠BDQ = 40° - x
นอกจากนั้น ยังได้ว่า DQ = CD ⇔ ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 40°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠DCQ = ∠CQD = 70°
(5) สังเกตว่า ∆CDQ ≅ ∆CPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠DCQ = ∠PCQ, CQ = CQ, ∠CQD = ∠CQP) ⇒ CD = CP ⇔ CD = BC ⇔ ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ ∠BDC = ∠CBD ⇔ x = 10° Q.E.D.