โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 20°
พิสูจน์
(1) ∠ACD = 90° - x, ∠ADC = 10° + x และ ∠BDC = 170° - x
(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด C ผ่าน AD ⇒ ∆ADP ≅ ∆ACD ⇒ AP = AC, DP = CD, ∠DAP = ∠CAD = 80° และ ∠ADP = ∠ADC = 10° + x
∵ AC = AP ⇔ ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 160°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠ACP = ∠APC = 10°
(3) กำหนดจุด Q ทางด้านขวาของ AC ที่ทำให้ ∠ACQ = 170° - x (⇔ ∠DCQ = 80°) และ CQ = CD
จะเห็นว่า ∆ACQ ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = BD, ∠ACQ = ∠BDC, CQ = CD) ⇒ ∠AQC = ∠BCD ⇔ ∠AQC = 10° ⇔ ∠AQC = ∠APC ⇔ ☐ACQP สามารถแนบในวงกลมได้ ⇔ ∠AQP = ∠ACP ⇔ ∠AQP = 10°
∵ CD = CQ ⇔ ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 80°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠CDQ = 50° และ ∠CQD = 50° (⇔ ∠DQP = 30°)
(4) กำหนดจุด R เป็นจุดตัดระหว่าง CD และ PQ
พิจารณา ∆CQR จะได้ว่า ∠CRQ = 80° ⇔ ∠CRQ = ∠QCR ⇔ ∆CQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด ⇔ QR = CQ ⇒ QR = DP
(5) พิจารณา ∆DQR จะเห็นว่า
∠D = 50°, ∠Q = 30° และมีจุด P บนส่วนต่อขยายของ QR ซึ่ง DP = QR ⇒ ∠DPQ = 40° (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์) ⇔ ∠PDR = 60°
⇔ 20° + 2x = 60°
⇔ x = 20°
Q.E.D.