โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 20°
พิสูจน์ 1
(1) ∵ ∠BAC = ∠ABC ⇔ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ AC = BC
(2) กำหนดจุด Q เหนือ AB ที่ทำให้ AQ = BQ = AB ⇔ ∆ABQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ ∠BAQ = 60° (⇔ ∠PAQ = 30°), ∠ABQ = 60° (⇔ ∠PBQ = 20°) และ ∠AQB = 60°
♦ สังเกตว่า ∆BCQ ≅ ∆ACQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = AC, BQ = AQ, CQ = CQ) ⇒ ∠BQC (= ∠AQC) = (∠AQB)/2 = 30°
♦ สังเกตว่า ∆APQ ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AP, ∠PAQ = ∠BAP, AQ = AB) ⇒ ∠AQP = ∠ABP ⇔ ∠AQP = 40° ⇔ ∠BQP = 20° ⇔ ∠CQP = 10°
(3) ∵ ∠CBP = ∠CQP ⇔ ☐BPCQ สามารถแนบในวงกลมได้ ⇔ ∠BCP = ∠BQP ⇔ x = 20° Q.E.D.
พิสูจน์ 2 (ไม่ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม)
(1) ∵ ∠BAC = ∠ABC ⇔ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ AC = BC
(2) กำหนดจุด Q เหนือ AB ที่ทำให้ AQ = BQ = AB ⇔ ∆ABQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ ∠BAQ = 60° (⇔ ∠PAQ = 30°), ∠ABQ = 60° (⇔ ∠CBQ = 10°) และ ∠AQB = 60°
♦ สังเกตว่า ∆BCQ ≅ ∆ACQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = AC, BQ = AQ, CQ = CQ) ⇒ ∠BQC (= ∠AQC) = (∠AQB)/2 = 30°
♦ สังเกตว่า ∆APQ ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AP, ∠PAQ = ∠BAP, AQ = AB) ⇒ PQ = BP ⇔ ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ ∠BQP = ∠PBQ ⇔ ∠BQP = 20° ⇔ ∠CQP = 10°
(3) ต่อ QC ออกไปยังจุด R โดยที่ ∠BRQ = 100° ⇒ ∠BCR = 40°
(4) สังเกตว่า ∆PQR ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (PQ = BP, ∠PQR = ∠CBP, QR = BC) ⇒ ∠PRQ = ∠BCP ⇔ ∠PRQ = x
นอกจากนั้น ยังได้ว่า PR = CP ⇔ ∆CPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ ∠PCR = ∠CRP ⇔ ∠PCR = x
(5) ∵ ∠BCP + ∠PCR = ∠BCR ⇔ x + x = 40° ⇔ x = 20° Q.E.D.
พิสูจน์ 3
(1) ต่อ BP ออกไปพบ AC ที่จุด Q
พิจารณา ∆ABQ จะได้ว่า ∠AQB = 90° ⇒ BP ⊥ AC
(2) ให้ α = 10°
พิจารณา ∆ABC จะเห็นว่า
มีจุด P เป็นจุดภายในที่ทำให้ BP ⊥ AC, ∠BAP = 30°, ∠CAP = 30° - α และ ∠CBP = α ⇒ ∠BCP = 2α (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์) ⇔ x = 20°
Q.E.D.
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [
