โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์
(1) ∵ ∠ABD = ∠BDC <=> AB // CD <=> ∠ACD = ∠BAC <=> ∠ACD = 4x
(2) กำหนดจุด P บน AB ที่ทำให้ AP = AD
จะเห็นว่า ∆ACP ≅ ∆ACD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AD, ∠CAP = ∠CAD, AC = AC) => ∠ACP = ∠ACD <=> ∠ACP = 4x <=> ∠BPC = 8x
นอกจากนั้น ยังได้ว่า CP = CD
(3) กำหนดจุด Q บน BD ที่ทำให้ CQ = CD <=> ∆CDQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด <=> ∠CQD = ∠CDQ <=> ∠CQD = 2x <=> ∠BCQ = x <=> ∠BCQ = ∠CBQ <=> ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด <=> BQ = CQ <=> BQ = CD
(4) พิจารณา ∆CDQ จะได้ว่า ∠PCQ = 180° - 12x
(5) ∵ CP = CD และ CQ = CD => CP = CQ <=> ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด <=> ∠CPQ (= ∠CQP) = 6x <=> ∠BPQ = 2x <=> ∠BPQ = ∠PBQ <=> ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด <=> PQ = BQ <=> PQ = CD
∴ CP = CQ = PQ <=> ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า => ∠CPQ = 60° <=> 6x = 60° <=> x = 10° Q.E.D.