โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = α
พิสูจน์
(1) กำหนดจุด P บน BC ที่ทำให้ DP = CD <=> ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด <=> ∠CPD = ∠DCP <=> ∠CPD = α + β <=> ∠BDP = β
(2) สังเกตว่า ∆ACD ≅ ∆BDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = BD, ∠ACD = ∠BDP, CD = DP) => ∠CAD = ∠DBP <=> x = α Q.E.D.
หมายเหตุ
พิจารณา ∆ABC จะได้ว่า ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° <=> x + α + (α + 2β) = 180° => 2α + 2β < 180° <=> α + β < 90° <=> ∠BCD < 90° (✱)
พิจารณา ∆BCD เห็นได้ชัดว่า ∠BCD > ∠CBD (✱✱)
จาก (✱) และ (✱✱) แสดงให้เห็นว่า เราสามารถกำหนดจุด P ตามเงื่อนไขที่ต้องการได้