======================================
❁ ท ร ง พ ร ะ เ จ ริ ญ ❁
======================================
โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 10°
พิสูจน์ 1
(1) ∠ABC = 40°
∵ ∠CAP = ∠ACP ⇔ ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ AP = CP
(2) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ PQ = AP (= CP) ⇔ ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ ∠AQP = ∠PAQ ⇔ ∠AQP = 20°
(3) พิจารณา ☐ACPQ จะได้ว่า ∠CPQ (มุมใหญ่) = 360° - 60° ⇔ ∠CPQ (มุมเล็ก) = 60°
∵ CP = PQ และ ∠CPQ = 60° ⇒ ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ CQ = PQ
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠PCQ = 60° ⇔ ∠BCQ = 40° ⇔ ∠BCQ = ∠CBQ ⇔ ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด ⇔ BQ = CQ ⇔ BQ = PQ ⇔ ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด ⇔ ∠BPQ = ∠PBQ ⇔ ∠BPQ = x
(4) พิจารณา ∆BPQ จะได้ว่า ∠PBQ + ∠BPQ = ∠AQP ⇔ x + x = 20° ⇔ x = 10° Q.E.D.
พิสูจน์ 2
(1) ∠ABC = 40°
∵ ∠CAP = ∠ACP ⇔ ∆ACP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ AP = CP
(2) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด C ผ่าน AB ⇒ ∆ABQ ≅ ∆ABC ⇒ AQ = AC, ∠BAQ = ∠BAC = 30° และ ∠AQB = ∠ACB = 110°
∵ AC = AQ และ ∠CAQ = 60° ⇒ ∆ACQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ AQ = CQ และ ∠AQC = 60° (⇔ ∠BQC = 50°)
(3) สังเกตว่า ∆CPQ ≅ ∆APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (CP = AP, CQ = AQ, PQ = PQ) ⇒ ∠CQP (= ∠AQP) = (∠AQC)/2 = 30°
(4) พิจารณา ☐BCPQ จะเห็นว่า ∠BCP + ∠BQP = 180° ⇔ ☐BCPQ สามารถแนบในวงกลมได้ ⇔ ∠CBP = ∠CQP ⇔ ∠CBP = 30° ⇔ ∠ABP = x = 10° Q.E.D.
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [
