จงพิสูจน์ว่า x = 20°

(1) ∠ADC = 150°

(2) กำหนดจุด P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ACD แนบใน   <=>   AP = CP = DP

∵ ∠APC (มุมใหญ่) = 2(∠ADC) = 300°   <=>   ∠APC (มุมเล็ก) = 60°

∵ AP = CP   <=>   ∆APC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠PAC = ∠ACP = 60°

∴ ∠PAC = ∠ACP = ∠APC   <=>   ∆APC เป็น ∆ด้านเท่า   =>   CP = AC   <=>   CP = BD   <=>   DP = BD

∵ ∠CPD = 2(∠CAD)   <=>   ∠CPD = 2x

∵ CP = DP   <=>   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠DCP (= ∠CDP) = 90° - x

(3) กำหนดจุด P' เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน CD   =>   ∆CDP' ≅ ∆CDP

จะได้ว่า 

• ∠CP'D = ∠CPD   <=>   ∠CP'D = 2x

• ∠DCP' = DCP   <=>   ∠DCP' = 90° - x

• DP' = DP   <=>   DP' = BD   <=>   ∆BDP' เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   <=>  ∠DBP' = ∠BP'D 

สังเกตว่า ∠CBD = ∠CP'D   <=>   ☐BCDP' สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠BP'C = ∠BDC   <=>   ∠BP'C = 30°   <=>   ∠BP'D = 2x + 30°   <=>   ∠DBP' = 2x + 30°

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠DBP' = ∠DCP'   <=>   ∠DBP' = 90° - x   <=>   2x + 30° = 90° - x   <=>   x = 20°   Q.E.D.

หมายเหตุ เราสามารถแสดงว่าจุด P' อยู่ใต้เส้น AB ได้ดังนี้

∵ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°   <=>   x + 2x + ∠ACB = 180°   =>   3x < 180°   <=>   x < 60°   <=>   90° - x > 30°   <=>   ∠CDP > 30°   <=>   ∠CDP' > 30°   <=>   ∠CDP' > ∠BDC