โจทย์ (Kadir Altintas)

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

พิสูจน์ (Kadir Altintas)

(1) ∠APB = 140°

∵ ∠BAP = ∠ABP   ⇔   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   AP = BP

(2) กำหนดจุด Q เหนือ AP ที่ทำให้ AQ = PQ = AP (= BP)   ⇔   ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   ∠APQ = 60° (⇔ ∠BPQ = 160°) และ ∠AQP = 60°

∵ BP = PQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 160°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠PBQ = ∠BQP = 10°

(3) กำหนดจุด R เป็นจุดตัดระหว่าง AC และ BQ

∵ AQ = PQ และ ∠PQR = 2(∠PAR)   ⇒   จุด Q เป็น circumcenter ของ ∆APR   ⇒   ∠ARP = (∠AQP)/2   ⇔   ∠ARP = 30°

∵ ∠PBR = ∠PCR   ⇔   ☐BCRP สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠CBP = ∠ARP   ⇔   x = 30°   Q.E.D.