จงพิสูจน์ว่า x = 20°

พิสูจน์ (Franzua Inf)

(1) ∠APC = 50°

(2) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด P ผ่าน AC   ⇒   ∆ACQ ≅ ∆ACP   ⇒   AQ = AP, ∠CAQ = ∠CAP = 30° และ ∠AQC = ∠APC = 50°

∵ AP = AQ และ ∠PAQ = 60°   ⇒   ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AP = PQ

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠APQ = ∠AQP = 60°   ⇔   ∠CPQ = ∠CQP = 10°

(3) ∵ ∠CBP = ∠CQP   ⇔   ☐BPCQ สามารถแนบในวงกลมได้   ⇒   ∠CBQ = ∠CPQ และ ∠BQP = ∠BCP   ⇔   ∠CBQ = 10° และ ∠BQP = x

(4) สังเกตว่า AP = PQ และ ∠APQ = 2(∠ABQ)   ⇒   จุด P เป็น circumcenter ของ ∆ABQ   ⇒   BP = PQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BQP = ∠PBQ   ⇔   x = 20°   Q.E.D.