โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 3α
พิสูจน์
(1) ∠ACB = 60° + α
(2) กำหนดจุด Q เหนือ AB ที่ทำให้ AQ = BQ = AB ⇔ ∆ABQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ ...
∠BAQ = 60° ⇔ ∠CAQ = 30°
∠ABQ = 60° ⇒ ∠CBQ = 30° - α และ ∠PBQ = 30°
∠AQB = 60°
♦ สังเกตว่า ∆ACQ ≅ ∆ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AC, ∠CAQ = ∠BAC, AQ = AB) ⇒ CQ = BC ⇔ ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด ⇔ ∠BQC = ∠CBQ ⇔ ∠BQC = 30° - α
♦ สังเกตว่า ∆BPQ ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BP = BP, ∠PBQ = ∠ABP, BQ = AB) ⇒ PQ = AP
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BQP = ∠BAP ⇔ ∠BQP = α ⇔ ∠AQP = 60° - α
พิจารณา ☐ABQP จะได้ว่า ∠APQ (มุมใหญ่) = 360° - (60° + 2α) ⇔ ∠APQ (มุมเล็ก) = 60° + 2α
(3) กำหนดจุด R ใต้ AQ ที่ทำให้ ∠QAR = 30° - α และ ∠AQR = 30° - α (⇔ ∠PQR = 30°)
จะเห็นว่า ∆AQR ≅ ∆BCQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠QAR = ∠CBQ, AQ = BQ, ∠AQR = ∠BQC) ⇒ QR = CQ
∵ ∠QAR = ∠AQR ⇔ ∆AQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด ⇔ AR = QR
♦ สังเกตว่า ∆PQR ≅ ∆APR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (PQ = AP, PR = PR, QR = AR) ⇒ ∠QPR (= ∠APR) = (∠APQ)/2 = 30° + α
♦ สังเกตว่า ∆CPQ ≅ ∆PQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CQ = QR, ∠CQP = ∠PQR, PQ = PQ) ⇒ ∠CPQ = ∠QPR ⇔ ∠CPQ = 30° + α
(4) พิจารณา ∆ACP จะได้ว่า ∠ACP = 60° - 2α ⇔ ∠BCP = x = 3α Q.E.D.
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [
