จงพิสูจน์ว่า x = 40° โดยไม่ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม

(1) ต่อ AP ออกไปพบ BC ที่จุด Q   ⇒   ∠BPQ = 40°, ∠AQB = 100° และ ∠AQC = 80°

∵ ∠BPQ = ∠PBQ   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   BQ = PQ

(2) กำหนดจุด R เป็นภาพสะท้อนของจุด Q ผ่าน AC   ⇒   ∆ACR ≅ ∆ACQ   ⇒   AR = AQ, ∠CAR = ∠CAQ = 30° และ ∠ARC = ∠AQC = 80°

∵ AQ = AR และ ∠QAR = 60°   ⇒   ∆AQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AQ = QR

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠AQR = ∠ARQ = 60°   ⇔   ∠CQR = ∠CRQ = 20°

(3) กำหนดจุด S บน AB ที่ทำให้ ∠AQS = 20°   ⇒   ∠BQS = 80° และ ∠BSQ = 40°

จะเห็นว่า ∆AQS ≅ ∆CQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠QAS = ∠CRQ, AQ = QR, ∠AQS = ∠CQR)   ⇒   QS = CQ

(4) สังเกตว่า ∆CPQ ≅ ∆BQS ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (CQ = QS, ∠CQP = ∠BQS, PQ = BQ)   ⇒   ∠PCQ = ∠BSQ   ⇔   x = 40°   Q.E.D.