กำหนดให้ x < 35°

จงพิสูจน์ว่า x = 30°

(1) ∠BCD = 50° - x และ ∠ADC = 70° - x

(2) ต่อ AC ออกไปยังจุด P โดยที่ CP = DP   ⇒   ∠BCP = 20° + x

∵ CP = DP   ⇔   ∆CDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CDP = ∠DCP   ⇔   ∠CDP = 70°   ⇔   ∠CPD = 40°

สังเกตว่า CP = DP และ ∠CPD = 2(∠CBD)   ⇒   จุด P เป็น circumcenter ของ ∆BCD   ⇔   BP = CP = DP

ให้ BP = L   ⇒   CP = L และ DP = L

(3) กำหนดจุด Q ใต้ AD ที่ทำให้ AQ = L และ ∠DAQ = 20° + x

จะเห็นว่า ∆ADQ ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BC, ∠DAQ = ∠BCP, AQ = CP)   ⇒   DQ = BP (= L)   ⇔   DQ = AQ   ⇔   ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ADQ = ∠DAQ   ⇔   ∠ADQ = 20° + x   ⇔   ∠AQD = 140° - 2x

(4) ∵ DP = DQ   ⇔   ∆DPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 160°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DPQ = 10° และ ∠DQP = 10°   ⇔   ∠APQ = 30° และ ∠AQP = 130° - 2x (> 60° เพราะ x < 35°)

(5) กำหนดจุด R เป็นภาพสะท้อนของจุด Q ผ่าน AP   ⇒   ∆APR ≅ ∆APQ   ⇒   PR = PQ, AR = AQ = L และ ∠APR = ∠APQ = 30°

∵ PQ = PR และ ∠QPR = 60°   ⇒   ∆PQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   PQ = QR

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠PQR = 60°   ⇔   ∠AQR = 70° - 2x

(6) สังเกตว่า ∆AQR ≅ ∆DPQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AQ = DP, AR = DQ, QR = PQ)   ⇒   ∠AQR = ∠DPQ   ⇔   70° - 2x = 10°   ⇔   x = 30°   Q.E.D.

(4) กำหนดจุด R บน AP ที่ทำให้ DR = L   ⇔   DR = DP   ⇔   ∆DPR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   ⇔   ∠DRP = ∠DPR   ⇔   ∠DRP = 40°   ⇔   ∠ADR = 40° - x

(5) ∵ DQ = DR และ ∠QDR = 60°   ⇒   ∆DQR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   QR = L และ ∠DQR = 60°

∵ AQ = DQ = QR   ⇔   จุด Q เป็น circumcenter ของ ∆ADR   ⇒   ∠DAR = (∠DQR)/2   ⇔   x = 30°   Q.E.D.