(1) ∵ ☐ABCD เป็น ☐จัตุรัส   ⇒   AB = AD = BC = CD และ ∠BAD = ∠ABC = 90° (⇔ ∠DAP = ∠CBP = 75°)

∵ ∠BAP = ∠ABP   ⇔   ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   AP = BP

สังเกตว่า ∆ADP ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BC, ∠DAP = ∠CBP, AP = BP)   ⇒   DP = CP

(2) กำหนดจุด Q ภายใน ☐ABCD ที่ทำให้ ∠DAQ = 15° (⇔ ∠PAQ = 60°) และ ∠ADQ = 15°

จะเห็นว่า ∆ADQ ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠DAQ = ∠BAP, AD = AB, ∠ADQ = ∠ABP)   ⇒   AQ = AP และ DQ = BP

∴ AP = AQ = DQ

(3) ∵ AP = AQ และ ∠PAQ = 60°   ⇒   ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AQ = PQ และ ∠AQP = 60°

สังเกตว่า AQ = DQ = PQ   ⇔   จุด Q เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี ∆ADP แนบใน   ⇒   ∠ADP = (∠AQP)/2   ⇔   ∠ADP = 30°   ⇔   ∠APD = 75°   ⇔   ∠APD = ∠DAP   ⇔   ∆ADP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D เป็นมุมยอด   ⇔   DP = AD   ⇔   DP = CD

∴ CD = CP = DP   ⇔   ∆CDP เป็น ∆ด้านเท่า   Q.E.D.