จงพิสูจน์ว่า x = 150° และ y = 30°

(1) พิจารณา ∆ACP จะได้ว่า ∠APC = x = 180° - (α + β)

(2) ∵ AC = BC   ⇔   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   ⇔   ∠ABC = ∠BAC   ⇔   ∠ABC = 90° - 2β   ⇔   ∠ABP = y = 90° - 2(α + β)

(3) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ CQ ⊥ AB และให้จุด R เป็นจุดตัดระหว่าง CQ และ BP   

∵ CQ ⊥ AB   ⇔   CQ เป็นส่วนสูงของ ∆ABC   ⇔   ∠ACR (= ∠BCR) = 2β   ⇔   ∠PCR = β   ⇔   ∠PCR = ∠ACP

พิจารณา ∆BCR จะได้ว่า ∠BRC = 180° - 2(α + β)

จะเห็นว่า ∆ACR ≅ ∆BCR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = BC, ∠ACR = ∠BCR, CR = CR)   ⇒   ∠CAR = ∠CBR   ⇔   ∠CAR = 2α   ⇔   ∠PAR = α   ⇔   ∠PAR = ∠PAC

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ARC = ∠BRC   ⇔   ∠ARC = 180° - 2(α + β)

(4) พิจารณา ∆ACR จะเห็นว่า มีจุด P เป็นจุดภายในที่ทำให้ AP และ CP เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠CAR และ ∠ACR ตามลำดับ   ⇒   จุด P เป็น incenter ของ ∆ACR   ⇒   PR เป็นเส้นแบ่งครึ่ง ∠ARC   ⇒   ∠CRP = (∠ARC)/2 = 90° - (α + β)

∵ ∠BRC + ∠CRP = 180°   ⇔   [180° - 2(α + β)] + [90° - (α + β)] = 180°   ⇔   α + β = 30°   ⇒   x = 150° และ y = 30°   Q.E.D.