โจทย์
กำหนดให้ BC = AB + AD + BD
จงพิสูจน์ว่า x = 12°
พิสูจน์
ให้ AB = a, AD = b และ BD = c ⇒ BC = a + b + c
(1) ∠ADB = 84°
(2) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ BP = c ⇒ ∠DBP = 120°
∵ BD = BP ⇔ ∆BDP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 120°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠BPD (= ∠BDP) = 30°
(3) กำหนดจุด Q เป็นภาพสะท้อนของจุด A ผ่าน DP ⇒ ∆DPQ ≅ ∆ADP ⇒ PQ = AP = a + c, DQ = AD = b และ ∠DPQ = ∠APD = 30°
∵ AP = PQ และ ∠APQ = 60° ⇒ ∆APQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ AQ = a + c
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠PAQ = 60° ⇔ ∠DAQ = 24°
(4) กำหนดจุด R ทางด้านซ้ายของ AD ที่ทำให้ DR = a + c และ ∠ADR = 24°
จะเห็นว่า ∆ADR ≅ ∆ADQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = AD, ∠ADR = ∠DAQ, DR = AQ) ⇒ AR = DQ ⇔ AR = b
∵ AD = AR ⇔ ∆ADR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด ⇔ ∠ARD = ∠ADR ⇔ ∠ARD = 24° ⇔ ∠DAR = 132°
(5) ต่อ BA ออกไปพบส่วนต่อขยายของ DR ที่จุด S ⇒ ∠RAS = 12°
พิจารณา ∆ARS จะได้ว่า ∠ASR = 12° ⇔ ∠ASR = ∠RAS ⇔ ∆ARS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด ⇔ RS = AR ⇔ RS = b
(6) สังเกตว่า ∆BCD ≅ ∆BDS ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = DS, ∠CBD = ∠BDS, BD = BD) ⇒ ∠BCD = ∠BSD ⇔ x = 12° Q.E.D.
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [
