จงพิสูจน์ว่า x = 10°

(1) ∠APB = 120°

(2) กำหนดจุด Q บน AB ที่ทำให้ PQ = BP   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BQP = ∠PBQ   ⇔   ∠BQP = 40°   ⇔   ∠APQ = 20°   ⇔   ∠APQ = ∠PAQ   ⇔   ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด   ⇔   AQ = PQ

(3) กำหนดจุด R ใต้ AP ที่ทำให้ ∠PAR = 30° และ ∠APR = 40°   ⇒   ∠QAR = 10°, ∠BPR = 80°, ∠QPR = 20° และ ∠ARP = 110°

♦ ให้ α = 10°

สังเกตว่า ☐AQPR เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี AQ = PQ, ∠QAR = α, ∠QPR = 2α และ ∠ARP = 120° - α   ⇒   PR = PQ (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 3)   ⇔   PR = BP

♦ ∵ ∠ACP + ∠ARP = 180°   ⇔   ☐ACPR สามารถแนบในวงกลมได้   ⇔   ∠PCR = ∠PAR   ⇔   ∠PCR = 30°

(4) สังเกตว่า BP = PR และ ∠BPR = 2(∠BCR)   ⇒   จุด P เป็น circumcenter ของ ∆BCR   ⇒   BP = CP   ⇔   ∆BCP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CBP = ∠BCP   ⇔   x = 10°   Q.E.D.