โจทย์
จงพิสูจน์ว่า cos20° = cos40° + cos80° และ 4cos320° - 3cos20° = cos60°
พิสูจน์
โดยไม่สูญเสียสาระสำคัญของกรณีทั่วไป เราสามารถสมมติให้ AB = 1
(1) ∵ AC = BC ⇔ ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 20°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠BAC = ∠ABC = 80°
(2) กำหนดจุด P บน AC ที่ทำให้ BP = 1 ⇔ BP = AB ⇔ ∆ABP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด ⇔ ∠APB = ∠BAP ⇔ ∠APB = 80° ⇔ ∠ABP = 20° ⇒ ∠CBP = 60° และ ∠BPC = 100°
(3) กำหนดจุด Q บน BC ที่ทำให้ PQ = 1 ⇔ PQ = BP
∵ BP = PQ และ ∠PBQ = 60° ⇒ ∆BPQ เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ BQ = 1
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠BPQ = 60° ⇒ ∠CPQ = 40° และ ∠CQP = 120°
(4) กำหนดจุด R บน CP ที่ทำให้ QR = 1 ⇔ QR = PQ ⇔ ∆PQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด ⇔ ∠PRQ = ∠QPR ⇔ ∠PRQ = 40° ⇔ ∠PQR = 100° ⇔ ∠CQR = 20° ⇔ ∠CQR = ∠QCR ⇔ ∆CQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด ⇔ CR = QR ⇒ CR = 1
(5) กำหนดจุด S บน AC ที่ทำให้ BS = CS ⇔ ∆BCS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠S เป็นมุมยอด ⇔ ∠CBS = ∠BCS ⇔ ∠CBS = 20° ⇒ ∠PBS = ∠BSP = 40° ⇔ ∆BPS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P (= 100°) เป็นมุมยอด ⇔ PS = BP ⇔ PS = 1
พิจารณา ∆CQR ซึ่งเป็น ∆หน้าจั่ว เมื่อลากส่วนสูง RT จะได้ว่า ∆CRT และ ∆QRT เป็น ∆มุมฉาก ที่เท่ากันทุกประการ
โดยนิยามของ cosine ใน ∆มุมฉาก จะได้ CT = QT = cos20° ⇒ CQ = 2cos20°
ในทำนองเดียวกัน สำหรับ ∆PQR และ ∆ABP จะได้ PR = 2cos40° และ AP = 2cos80° ตามลำดับ
ในทางกลับกัน สำหรับ ∆ABC และ ∆BCS จะได้ AC = 1/(2cos80°) และ CS = 1 + 1/(2cos20°) ตามลำดับ
∵ AC = BC ⇔ AP + PR + CR = BC ⇔ 2cos80° + 2cos40° + 1 = 1 + 2cos20° ⇔ cos20° = cos40° + cos80° Q.E.D.
นอกจากนั้น ยังได้ว่า 1/(2cos80°) = 1 + 2cos20° ⇔ 2cos80° = 1/(1 + 2cos20°) ⇔ AP = 1/(1 + 2cos20°) ⇔ AC - CS - PS = 1/(1 + 2cos20°) ⇔ BC - CS - PS = 1/(1 + 2cos20°) ⇔ (1 + 2cos20°) - [1 + 1/(2cos20°)] - 1 = 1/(1 + 2cos20°) ⇔ 4cos320° - 3cos20° = 1/2 ⇔ 4cos320° - 3cos20° = cos60° Q.E.D.