โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 48°
พิสูจน์
(1) ∠ACB = 78°
(2) ต่อ BC ออกไปยังจุด Q โดยที่ ∠AQB = 72° ⇒ ∠CAQ = 6°
∵ ∠ABQ = ∠AQB ⇔ ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด ⇔ AB = AQ
สังเกตว่า ∆APQ ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AP, ∠PAQ = ∠BAP, AQ = AB) ⇒ PQ = BP ⇔ ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด ⇔ ∠BQP = ∠PBQ ⇔ ∠BQP = 36° ⇔ ∠BPQ = 108°
(3) กำหนดจุด R เป็นภาพสะท้อนของจุด C ผ่าน AB ⇒ ∆ABR ≅ ∆ABC ⇒ AR = AC, BR = BC, ∠BAR = ∠BAC = 30° และ ∠ARB = ∠ACB = 78°
∵ AC = AR และ ∠CAR = 60° ⇒ ∆ACR เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ AC = CR และ ∠ACR = ∠ARC = 60° (⇔ ∠BCR = ∠BRC = 18°)
(4) กำหนดจุด S เหนือ AC ที่ทำให้ ∠CAS = ∠ACS = 18° (⇒ ∠ASC = 144°)
จะเห็นว่า ∆ACS ≅ ∆BCR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠CAS = ∠BCR, AC = CR, ∠ACS = ∠BRC) ⇒ AS = BC และ CS = BR ⇒ AS = BC = CS
(5) ∵ AS = CS และ ∠ASC = 2(∠AQC) ⇒ จุด S เป็น circumcenter ของ ∆ACQ ⇒ ∠CSQ = 2(∠CAQ) ⇔ ∠CSQ = 12°
∵ BC = CS ⇔ ∆BCS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 96°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠BSC (= ∠CBS) = 42°
∵ BP = PQ และ ∠BPQ = 2(∠BSQ) ⇒ จุด P เป็น circumcenter ของ ∆BQS ⇒ BP = PS
(6) สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆CPS ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = CS, BP = PS, CP = CP) ⇒ ∠BCP (= ∠PCS) = (∠BCS)/2 ⇔ x = 48° Q.E.D.