สูตรดอกเบี้ยทบต้น FV = PV(1+i)ⁿ
n = 10 งวด (10 ปี)
i = 6% คือ 0.06
FV คือ Future Value คือเงินรวมปลายปีที่ 10
PV คือ Present Value คือเงิน ณเวลาปัจจุบัน
แทนค่า FV = 1,000(1+0.06)¹⁰

= 1,000(1.7908)
= 1,790.8 บาท ตอบ
หรือ เปิดตาราง หน้า ผนวก 1 ตาราง A-1 ให้ดูที่ แนวตั้ง 6%
แล้วดูแนวนอน ที่ 10 งวด โยงมาพบกัน จะได้1.7908
นำ 1.7908 มาคูณ กับค่าเงินปัจจุบัน ได้คำตอบ เช่นกัน

2) 1) เงินต้น 1,000 บาท ดอกเบี้ย 6% ต่อปี ฝาก 10 ปี สิ้นงวดได้เงินเท่าใด
กรณี ทบต้น ทุกๆ 6 เดือน เมื่อดอเบี้ยทบต้นทุกๆ 6 เดือน จะทำให้อัตราดอกเบี้ย
เหลือเพียง 3% แล้วงวดจะเพิ่ม เป็น 20 งวด

สูตรดอกเบี้ยทบต้น FV = PV(1+i)ⁿ
n = 20 งวด (10 ปี ทบทุกๆ 6 เดือน)
i = 3% ต่องวด คือ 0.03 โดยการปรับ 6% ต่อปีเป็น 3% ต่องวด 6 เดือน
คิดจาก (6 / 100) x 1/2 ปี
FV คือ Future Value คือเงินรวมปลายปีที่ 10
PV คือ Present Value คือเงิน ณเวลาปัจจุบัน
แทนค่า FV = 1,000(1+0.03)²⁰

= 1,000(1.8061)
= 1,806 บาท ตอบ
หรือ เปิดตาราง หน้า ผนวก 1 ตาราง A-1 ให้ดูที่ แนวตั้ง 3%
แล้วดูแนวนอน ที่ 20 งวด โยงมาพบกัน จะได้1.8061
นำ 1.8061 มาคูณ กับค่าเงินปัจจุบัน ได้คำตอบเช่นกัน

3)เปรียบเทียบ ข้อ 1- 2 ว่า ข้อใด ได้ผลลัพธ์มากกว่า
ตอบ แบบข้อ2. ได้ผลลัพธ์ มากกว่า เนื่องจาก มีการจ่ายดอกเบี้ยทุกงวด 6 เดือน
จากนั้น นำเงินดอกเบี้ย ไปทบต้น คิดเป็นเงินต้นใหม่ของวดถัดไป
เกิดเป็นเงินต้นที่มากกว่าเดิม ทุกครั้ง ต่อรอบ 6 เดือนมีการทบต้น 20 ครั้ง
ขณะที่ แบบข้อ1จะได้ทบต้นเมื่อสิ้นระยะเวลารอบ 1 ปี มีการทบต้น 10 ครั้ง
ทำให้ผลลัพธ์ ในแบบข้อสอง ได้มากกว่า

4) คำนวณหามูลค่าปัจจุบันของเงิน 1,000 บาท ที่จะได้รับ ในปีที่ 10 กรณีดอกเบี้ยทบต้น 6%ปีละครั้งเป็นเท่าใด
ใช้สุตรเดิมคือ สูตร ดอกเบี้ยทบต้น FV = PV(1+i)ⁿ
จากนั้น กลับด้านเพื่อหา PV ได้เป็น PV = FV . 1 / (1+i)ⁿ
แทนค่าในสูตร PV = 1,000 x 1 / ( 1 + 0.06)¹⁰
= 1,000 x 1/ (1.7908)
= 1,000 x 0.5584
= 558.40 บาท
หรือเปิดตาราง หน้า ผนวก 3 ตารางที่ A-2 ดูแนวตั้งที่ 6%และแนวนอนที่ 10 งวด
ได้ตัวเลข 0.5584 นำตัวเลขนี้ คูณกับ 1,000 บาท ได้เป็นคำตอบเช่นเดียวกันกับการคำนวณ

5)คำนวนหามูลค่าปัจจุบันของเงิน 1,000 บาทณ ปีที่ 10 กรณี ดอกเบี้ยทบต้น6%ทุกครึ่งปี
ใช้สุตรเดิมคือ สูตร ดอกเบี้ยทบต้น FV = PV(1+i)ⁿ
จากนั้น กลับด้านเพื่อหา PV ได้เป็น PV = FV x[ 1 / (1+i)ⁿ]

แทนค่าในสูตร PV = 1,000 x 1 / ( 1 +0.03)²⁰
= 1,000 x 1/ (1.80611)
= 1,000 x 0.55367
= 553.70 บาท
หรือเปิดตาราง หน้า ผนวก 3 ตารางที่ A-2 ดูแนวตั้งที่ 3%และแนวนอนที่ 10 งวด
ได้ตัวเลข 0.5537 นำตัวเลขนี้ คูณกับ 1,000 บาท ได้เป็นคำตอบ เช่นเดียวกันกับการคำนวณ

6) เปรียบเทียบ ข้อ 4 และ ข้อ 5 จะเห็นว่า ข้อ 4 ใช้เงินในปัจจุบันมากกว่า
เนื่องจาก มีการทบต้นน้อยครั้งกว่า

7) หามูลค่าปัจจุบันของเงิน 1,000 บาทที่จะได้รับในสิ้นปีที่ 10 ปี อัตราดอกเบี้ยทบต้น 10%
คิดเช่นเดียวกับ ข้อ 4

PV = 1,000 x 1 / (1 + 0.10)¹⁰
= 1,000 x 1/ (2.5937)
= 1,000 x 0.3855
= 385.50 บาท

8)หามูลค่าปัจจุบันของเงิน 1,000 บาทที่จะได้รับในสิ้นปีที่ 10 ปี อัตราดอกเบี้ย ทบต้น8%
คิดเช่นเดียวกับ ข้อ 4

PV = 1,000 x 1 / (1 + 0.08)¹⁰
= 1,000 x 1/ (2.1589)
= 1,000 x 0.4632
= 463.20 บาท

9)เปรียบเทียบ ข้อ 7 และ ข้อ 8 จะเห็นว่า ข้อ 8 ใช้เงินในปัจจุบันมากกว่า
เนื่องจาก มีดอกเบี้ยน้อยกว่า

10)ฝากเงิน 1,000 บาท ในวันสิ้นปี แต่ละปี ทุกปี ครบ 10 ปี อัตราดอกเบี้ยทบต้น 6%ต่อปี
เงินฝาก ณ สิ้นปีที่ 10 จะเป็นเท่าใด
สูตร FVIFA = A [(1+i)ⁿ -1]/ i
แทนค่าในสูตร
= 1,000[(1+0.06)¹⁰-1]/0.06
= 1,000 (0.79208)/0.06
=13,180.80 บาท
หรือเปิดตาราง ผนวก หน้า 8 ตารางที่ A-3 แนวตั้ง 6% แนวนอน 10 งวด
ได้ตัวเลข 13.1808 จากนั้น นำตัวเลขนี้ มาคูณกับเงินต้นงวด คืองวดละ 1,000 บาท
ได้เป็นคำตอบที่เท่ากัน

11)ฝากเงิน 1,000 บาท ในวันต้นปี แต่ละปี ทุกปี ครบ 10 ปี อัตราดอกเบี้ยทบต้น 6%ต่อปี
เงินฝาก ณ สิ้นปีที่ 10 จะเป็นเท่าใด
สูตร FVIFA = A(1+i) [(1+i)ⁿ -1]/ i
แทนค่าในสูตร
= 1,000(1+0.06) [(1+0.06)¹⁰-1]/0.06
= 1,000 x 1.06 x (0.79208)/0.06
=13,971.65 บาท

12) เปรียบเทียบข้อ 10 – 11 จะเห็นว่า ข้อ 11 ได้เงินมากว่าเนื่องจาก
เป็นการฝากต้นงวด ดอกเบี้ย เริ่มคิดจากต้นงวด จึงได้เงินมากกว่า

1-4เรื่องมูลค่าเงินตามเวลา

1)ลงทุน 5,000 บาท อัตราดอกเบี้ยทบต้น 5% เป้าหมายคือ ให้ได้เงิน 7,387 บาท
ต้องใช้เวลากี่ปี คิดเช่นเดียวกับ ข้อ 1ครั้งที่แล้ว
สูตร ดอกเบี้ยทบต้น FV = PV(1+i)ⁿ
n = ? งวด ( n ปี)
i = 5% คือ 0.05
FV คือ Future Value คือเงินรวมปลายปีที่ n ซึ่งเท่ากับ 7,387 บาท
PV คือ Present Value คือเงิน ณเวลาปัจจุบัน
แทนค่า FV = 5,000(1+0.05)ⁿ  
7,387 = 5,000(1.05)ⁿ  
(1.05)ⁿ= 7,387/ 5,000  
        (1.05)ⁿ = 1.4774

take log ทั้งสองข้าง

ได้ log (1.05)ⁿ= log1.4774
n log (1.05)= log1.4774  
n=log 1.4774 / log 1.05   
n= 7.999 ปี ปัดเป็นจำนวนเต็มได้ 8 ปี ตอบ 8 ปี

หรือเปิดตาราง หน้า ผนวก 1 ตารางที่ A-1 ดูแนวตั้งที่5 % แล้วดูตัวเลขที่มีค่า 1.4774 หรือใกล้เคียง
เห็นตัวเลข 1.4775 ถือว่า ใช้ได้แล้ว จึงเลื่อนไปดูระยะเวลาตามแนวนอน ได้ระยะเวลาเป็น 8 งวด
ตอบ  8 งวด หรือ 8 ปี  

2)ลงทุน 5,000 บาท ระยะเวลา 4 ปีต้องการได้เงินรวม ณ ปลายงวด เท่ากับ 6,312.40 บาท
ให้หาดอกเบี้ยทบต้น สูตรเดิม

สูตรดอกเบี้ยทบต้น FV = PV(1+i)ⁿ
n = 4 งวด ( 4 ปี)
i = i% คือ 0.0i
FV คือ Future Value คือเงินรวมปลายปีที่ 4 ซึ่งเท่ากับ 6,312.40 บาท
PV คือ Present Value คือเงิน ณเวลาปัจจุบัน
แทนค่า 6,312.40 = 5,000(1+0.0i)⁴  
    6,312.40/5,000 =(1+0.0i)⁴  
(1+0.0i)⁴ = 1.26248

ถอดรูทที่ 4 ทั้งสองข้าง
1.0.0i = 1.06
ดังนั้น i = 0.06 หรือ 6 %
ตอบ อัตราดอกเบี้ย = 6 %
หรือเปิดตาราง หน้า ผนวก 1 ตารางที่ A-1 ดูแนวนอนที่งวดที่ 4
เลือกค่าตัวเลขให้ใกล้กับ 1.26248 ได้ค่า1.2625 ถือว่าใช้ได้แล้ว
จึงเลื่อนไปดูอัตราดอกเบี้ย ส่วนบนสุด ได้อัตราดอกเบี้ย เป็น 6 %
ได้คำตอบเช่นเดียวกัน

3) เงินปลายงวด 35,000 บาท อัตราดอกเบี้ย 4 % ฝากเงินเมื่อสิ้นปี เป็นเวลา 6 ปี
จงหา จำนวนเงินที่ฝากสะสมทุกๆ สิ้นปี ในระยะเวลา 6 ปี
สูตร FVIFA = A [(1+i)ⁿ -1]/ i
แทนค่าในสูตร เพื่อหาค่า Aหรือเงินที่ฝากสะสม ณ สิ้นปี ทุกๆปี เป็นเวลา 6 ปีติดต่อกัน
35,000 = A [(1+0.04)⁶-1]/0.04
35,000 =A(1.2653-1)/0.04
A = 35,000/6.6329
A= 5,276.66 บาท ตอบต้องฝากสะสม ปีละ 5,227.66 บาท
หรือ เปิดตาราง หน้า ผนวก 5 ตารางที่ A-3 เลือกแนวตั้งที่ 4%แนวนอนที่ 6 งวด
ได้ตัวเลข 6.6330 จากนั้น นำตัวเลข6.6330 มาหาร 35,000 บาท ได้เป็นคำตอบ ซึ่งได้ค่าเท่ากับที่คำนวณ

4)ฝากเงิน ระยะเวลา 35 ปี ฝากทุกๆปี ปีละเท่ากัน อัตราดอกเบี้ยทบต้น 8% โดยต้องการเงินรวมณ ปลายงวด
จำนวน 900,000 บาท จงหาเงินที่ฝากเข้าทุกๆ ปี
สูตร FVIFA = A(1+i) [(1+i)ⁿ -1]/ i
 900,000 = A  (1 + 0.08)[(1+0.08)³⁵-1]/0.08
A = 900,000/{ (1 + 0.08)[(1+0.08)³⁵-1]/0.08}
A = 4,836.05 บาท  

ตอบ ต้องฝากเข้า ต้นปี ทุกๆปี ปีละ 4,836.05 บาท 
1-5

กิจการรับซื้อหุ้นกู้มูลค่าในอดีต 5,000,000 บาทมีอัตราจ่ายดอกเบี้ย 6% (ต่อปี) โดยจ่ายทุกครึ่งปี 

อายุหุ้นกู้เหลืออีก 20 ปี
ขณะที่อัตราจ่ายดอกเบี้ยในตลาดเป็น 8% จ่ายดอกเบี้ยทุกครึ่งปีเช่นเดียวกัน

คำถามให้คำนวณมูลค่าปัจจุบันของหุ้นกู้จำนวนนี้ (ตามเฉลยในหนังสือตอบ 4,010,420)
วิธีคิด มีสองขั้นตอนคือ 

1. คิดถึงภาระจากหุ้นกู้จำนวนนี้ คืออีก 20ปีข้างหน้า
กิจการมีภาระที่ต้องจ่ายให้แก่เจ้าหนี้เต็มจำนวนคือ5,000,000 บาท
2. ระหว่างระยะเวลา 20 ปีกิจการมีภาระต้องจ่ายดอกเบี้ยให้เจ้าของหุ้นกู้ปีละ 6% โดยจ่ายทุกครึ่งปี
(จ่ายปลายงวด)
เป็นค่าใช้จ่ายงวดละ 150,000 บาท (5,000,000x3%) คิดสามเปอร์เซ็นต์เพราะเราจ่ายทุกครึ่งปี

จากข้อมูลที่โจทย์ให้มาคือ ตลาดจ่ายดอกเบี้ย 8 % ต่อปี จ่ายทุกๆ ครึ่งปี
จึงใช้อัตราดอกเบี้ย 8% มาคิดในการหามูลค่าปัจจุบัน
ส่วนอัตราดอกเบี้ยที่กิจการจ่ายให้หุ้นกู้อัตรา 6% นั้นให้นำมาคิดเฉพาะ ดอกเบี้ยจ่ายของหุ้นกู้เท่านั้น

ไม่นำมาคิดกับการหามูลค่าปัจจุบัน (ตรงนี้ นักศึกษาต้องทำความเข้าใจให้ชัดแจ้ง)
  เราเริ่มที่ขั้นตอนที่หนึ่ง กันก่อน คือการหามูลค่าปัจจุบันกันก่อน ว่าเงิน 5 ล้านบาท ณ 20 ปีข้างหน้านั้นว่า  

มูลค่าปัจจุบันเวลานี้ควรเป็นเท่าใด

สูตรมูลค่าปัจจุบัน ใช้สูตรเดียวกับมูลค่าในอนาคตโดยการย้ายข้างสมการเท่านั้นเอง
สูตร ดอกเบี้ยทบต้น(ใช้หามูลค่าปัจจุบัน)  FV = PV(1+i)ⁿ

FV คือเงินที่ต้องจ่ายเป็นค่าหุ้นกู้ให้เจ้าหนี้ณเวลา อีก 20 ปีข้างหน้า คือ 5,000,000 บาท 

เนื่องจาก ตลาดได้จ่ายดอกเบี้ยในอัตรา 8% ทุกๆ ครึ่งปีเราจึงใช้อัตราดอกเบี้ย 8% มาคำนวณ
8% ทุกๆ ครึ่งปีคือ 4% ต่องวด (หกเดือน) i = 0.04
PV คือมูลค่าปัจจุบันที่เราต้องการทราบ
n คือจำนวนงวด ใน 20 ปี กิจการต้องจ่ายดอกเบี้ยไป 40 ครั้ง n= 40 งวด
แทนค่าในสูตร
5,000,000 = PV(1+0.04)⁴⁰
PV= 5,000,000/(1+0.04)⁴⁰
=1,041,445

หรือเปิดตารางA-2 ที่ ดอกเบี้ย 4% และ 40 งวด ได้ตัวเลข 0.2083
นำตัวเลขนั้นมาคูณเงิน5,000,000 บาท จะได้ค่าเท่ากัน

พักไว้ก่อน
ขั้นตอนที่สอง

กิจการมีภาระจ่ายดอกเบี้ย6 % ต่อปี ทุกครึ่งปี ไปอีก 20 ปี นับเป็นจำนวนงวดคือ40 งวด

2.1 คิดดอกเบี้ยรายงวด ดังนี้ 5,000,000 x 3% =150,000 บาท
กิจการต้องจ่าย เงิน 150,000 บาท ออกไป ทุกๆหกเดือนอีก 40 งวด
(ตามปกตินั้น เราจ่ายดอกเบี้ยจ่ายปลายงวดนะ)

2.2 คิดมูลค่าปัจจุบันในการจ่ายเงินออกไป 150,000 บาท ทุกๆ หกเดือน เป็นเวลา 40 งวด

คิด PVA จากสูตร PVA = [(1+i)ⁿ-1]/(1+i)ⁿi
แทนค่า PVA = [(1+0.04)⁴⁰-1]/(1+0.04)⁴⁰x 0.04

=3.80102/0.1920408
=19.79277
=19.79277 x 150,000
                      = 2,968,915.60
นำมูลค่า สองข้อรวมกัน ได้เป็นมูลค่าปัจจุบัน 

(มูลค่าของเงินห้าล้านในอนาคตด +มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ยจ่าย 40 งวด ตลอดระยะเวลา 20 ปี)
= 1,041,445 + 2,968,915ได้ 4,010,360 ใกล้เคียงกับที่โจทย์ เฉลย

มาดูวิธีการเปิดตาราง 
ขั้นแรกเปิดตารางเพื่อหามูลค่าปัจจุบันของเงินห้าล้าน

เปิดตารางA-2 ดูที่ 40 งวด ดอกเบี้ย 4% ได้ตัวเลข0.2083

นำตัวเลขชุดนี้ คูณเข้ากับเงินห้าล้าน ได้เป็นเงิน 1,041,500บาท
พักไว้ก่อน
ขั้นที่สอง เปิดตารางเพื่อหามูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ยจ่าย ณ วันสิ้นงวด
อัตราดอกเบี้ย 8% ต่อปี หรือ 4% ต่องวดที่40 งวด
ดูตาราง A-4 ได้ตัวเลข 19.7928 นำตัวเลขชุดนี้มาคูณกับ150,000 บาท

ได้เป็นเงิน 2,968,920 บาท
นำมูลค่าปัจจุบัน สองชุดรวมกัน (มูลค่าปัจจุบันเงินห้าล้าน + มูลค่าปัจจุบันของดอกเบี้ยจ่ายสี่สิบงวด)
= 1,041,500 + 2,968,920

= 4,010,420 บาท ตามเฉลย

Create Date : 01 พฤศจิกายน 2556
Last Update : 1 พฤศจิกายน 2556 8:33:05 น.		1 comments
Counter : 36674 Pageviews.
Share Tweet