จงพิสูจน์ว่า x = 48°

(1) ∠ACB = 78°

(2) ต่อ BC ออกไปยังจุด Q โดยที่ ∠AQB = 72°   ⇒   ∠CAQ = 6°

∵ ∠ABQ = ∠AQB   ⇔   ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด   ⇔   AB = AQ

สังเกตว่า ∆APQ ≅ ∆ABP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = AP, ∠PAQ = ∠BAP, AQ = AB)   ⇒   PQ = BP   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BQP = ∠PBQ   ⇔   ∠BQP = 36°   ⇔   ∠BPQ = 108°

(3) กำหนดจุด R เป็นภาพสะท้อนของจุด C ผ่าน AB   ⇒   ∆ABR ≅ ∆ABC   ⇒   AR = AC, BR = BC, ∠BAR = ∠BAC = 30° และ ∠ARB = ∠ACB = 78°

∵ AC = AR และ ∠CAR = 60°   ⇒   ∆ACR เป็น ∆ด้านเท่า   ⇒   AC = CR และ ∠ACR = ∠ARC = 60° (⇔ ∠BCR = ∠BRC = 18°)

(4) กำหนดจุด S เหนือ AC ที่ทำให้ ∠CAS = ∠ACS = 18° (⇒ ∠ASC = 144°)

จะเห็นว่า ∆ACS ≅ ∆BCR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠CAS = ∠BCR, AC = CR, ∠ACS = ∠BRC)   ⇒   AS = BC และ CS = BR   ⇒   AS = BC = CS

(5) ∵ AS = CS และ ∠ASC = 2(∠AQC)   ⇒   จุด S เป็น circumcenter ของ ∆ACQ   ⇒   ∠CSQ = 2(∠CAQ)   ⇔   ∠CSQ = 12°

∵ BC = CS   ⇔   ∆BCS เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 96°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BSC (= ∠CBS) = 42°

∵ BP = PQ และ ∠BPQ = 2(∠BSQ)   ⇒   จุด P เป็น circumcenter ของ ∆BQS   ⇒   BP = PS

(6) สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆CPS ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (BC = CS, BP = PS, CP = CP)   ⇒   ∠BCP (= ∠PCS) = (∠BCS)/2   ⇔   x = 48°   Q.E.D.