โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 18°
พิสูจน์
ให้ AD = L ⇔ BC = L
(1) ∠ACB = 138°
(2) กำหนดจุด P เป็นภาพสะท้อนของจุด C ผ่าน AB ⇒ ∆ABP ≅ ∆ABC ⇒ AP = AC, BP = BC = L, ∠BAP = ∠BAC = 30° และ ∠ABP = ∠ABC = 12°
∵ AC = AP และ ∠CAP = 60° ⇒ ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ AC = CP
(3) กำหนดจุด Q เหนือ AC ที่ทำให้ AQ = CQ = L
จะเห็นว่า ∆ACQ ≅ ∆BCP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (AC = CP, AQ = BC, CQ = BP) ⇒ ∠AQC = ∠CBP ⇔ ∠AQC = 24°
∵ AQ = CQ ⇔ ∆ACQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 24°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠CAQ = 78° และ ∠ACQ = 78° (⇔ ∠BCQ = 144°)
(4) ∵ BC = CQ ⇔ ∆BCQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C (= 144°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠BQC (= ∠CBQ) = 18°
∵ AD = AQ ⇔ ∆ADQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 108°) เป็นมุมยอด ⇔ ∠AQD (= ∠ADQ) = 36° ⇔ ∠CQD = 12° ⇔ ∠CQD = ∠CBD ⇔ ☐BDCQ สามารถแนบในวงกลมได้ ⇔ ∠ADC = ∠BQC ⇔ x = 18° Q.E.D.