จงพิสูจน์ว่า x = 40

(1) ∵ AC = BC   <=>   ∆ABC เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠C เป็นมุมยอด   <=>   ∠ABC = ∠BAC   <=>   ∠ABC = 70°   <=>   ∠ACB = 40°   <=>   ∠ACP = 10°

(2) กำหนดจุด Q นอก ∆ABC ที่ทำให้ AQ = AC และ ∠PAQ = 20° (<=> ∠BAQ = 30°)

สังเกตว่า ∆ACQ ≅ ∆ABC ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AC, ∠CAQ = ∠ACB, AQ = BC)   =>   CQ = AB

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠ACQ = ∠BAC   <=>   ∠ACQ = 70°   <=>   ∠PCQ = 60°   <=>   ∠BCQ = 30°

สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆APQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AQ, ∠CAP = ∠PAQ, AP = AP)   =>   CP = PQ   <=>   ∆CPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠P เป็นมุมยอด   <=>   ∠CQP = ∠PCQ   <=>   ∠CQP = 60°   <=>   ∠CPQ = 60°

∴ ∆CPQ เป็น ∆ด้านเท่า   =>   CP = CQ   <=>   CP = AB

สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆ABQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = AQ, ∠BCP = ∠BAQ, CP = AB)   =>   ∠CBP = ∠AQB   <=>   x° = ∠AQB 

(3) ∵ ∠BAQ = ∠BCQ   <=>   ☐ABQC สามารถแนบในวงกลมได้   <=>   ∠ACQ + ∠ABQ = 180°   <=>   70° + ∠ABQ = 180°   <=>   ∠ABQ = 110°   <=>   ∠AQB = 40°   <=>   x = 40   Q.E.D