จงพิสูจน์ว่า x = 20°

(1) ∠BPC = 100°

พิจารณา ☐ACBP จะได้ว่า ∠APB (มุมใหญ่) = 360° - 120°   ⇔   ∠APB (มุมเล็ก) = 120°

(2) กำหนดจุด O เป็น circumcenter ของ ∆BCP   ⇔   BO = CO = OP

นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠COP = 2(∠CBP)   ⇔   ∠COP = 20°

∵ CO = OP   ⇔   ∆COP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O (= 20°) เป็นมุมยอด   ⇔   ∠CPO (= ∠OCP) = 80°   ⇔   ∠BPO = 20°

∵ BO = OP   ⇔   ∆BOP เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠O เป็นมุมยอด   ⇔   ∠OBP = ∠BPO   ⇔   ∠OBP = 20°

(3) ให้ α = 10°

สังเกตว่า ☐ACOP เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี CO = OP, ∠A = α, ∠O = 2α และ ∠C = 120° - α   ⇒   AP = CO (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 2)   ⇔   AP = BO

(4) ต่อ PO ออกไปยังจุด Q โดยที่ BQ = BP   ⇔   ∆BPQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B เป็นมุมยอด   ⇔   ∠BQP = ∠BPQ   ⇔   ∠BQP = 20°   ⇔   ∠PBQ = 140°   ⇔   ∠OBQ = 120°

(5) สังเกตว่า ∆ABP ≅ ∆BOQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AP = BO, ∠APB = ∠OBQ, BP = BQ)   ⇒   ∠ABP = ∠BQO   ⇔   x = 20°   Q.E.D.