╠╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╣
❀❀❀ ท ร ง พ ร ะ เ จ ริ ญ ❀❀❀
╠╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╦╩╣
โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 40°
พิสูจน์ 1
(1) ∠ACB = 110°
(2) ต่อ BC ออกไปยังจุด Q โดยที่ BQ = AQ ⇔ ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด ⇔ ∠BAQ = ∠ABQ ⇔ ∠BAQ = 50° ⇒ ∠PAQ = 40° และ ∠AQB = 80°
(3) ให้ α = 20°
จะเห็นว่า
☐APBQ เป็นสี่เหลี่ยมเว้า ที่มี AQ = BQ, ∠B = α, ∠A = 2α และ ∠Q = 120° - 2α ⇒ AP = AQ (Click เพื่อดูวิธีพิสูจน์ในโจทย์ 2) ⇔ ∆APQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A (= 40°) เป็นมุมยอด
⇔ ∠AQP (= ∠APQ) = 70°
⇔ ∠BQP = 10°
(4) ∵ ∠CAP = ∠CQP ⇔ ☐APCQ สามารถแนบในวงกลมได้ ⇔ ∠ACP = ∠AQP ⇔ ∠ACP = 70° ⇔ ∠BCP = x = 40° Q.E.D.
พิสูจน์ 2 (ไม่ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม)
(1) ∠ACB = 110°
(2) ต่อ BC ออกไปยังจุด Q โดยที่ BQ = AQ ⇒ ∠ACQ = 70°
∵ AQ = BQ ⇔ ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด ⇔ ∠BAQ = ∠ABQ ⇔ ∠BAQ = 50° ⇔ ∠AQB = 80°
(3) ให้ α = 20°
(4) ต่อ CQ ออกไปยังจุด R โดยที่ AR = AC ⇔ ∆ACR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠A เป็นมุมยอด ⇔ ∠ARC = ∠ACR ⇔ ∠ARC = 70° ⇔ ∠QAR = 10°
(5) สังเกตว่า ∆ACP ≅ ∆AQR ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = AR, ∠CAP = ∠QAR, AP = AQ) ⇒ ∠ACP = ∠ARQ ⇔ ∠ACP = 70° ⇔ ∠BCP = x = 40° Q.E.D.