โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 54°
พิสูจน์
(1) ∵ AD = BD <=> ∆ABD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 36°) เป็นมุมยอด <=> ∠BAD = ∠ABD = 72°
∵ BC = BD <=> ∆BCD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠B (= 24°) เป็นมุมยอด <=> ∠BCD = ∠BDC = 78°
(2) กำหนดจุด Q นอก ∆ABD ที่ทำให้ DQ = AD (= BD = BC) และ ∠ADQ = 24°
จะเห็นว่า ∆ADQ ≅ ∆BCD ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AD = BD, ∠ADQ = ∠CBD, DQ = BC) => AQ = CD
∵ BD = DQ และ ∠BDQ = 60° => ∆BDQ เป็น ∆ด้านเท่า => BQ = BD
∵ AD = BD = DQ <=> จุด D เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่มี ∆ABQ แนบใน => ∠ABQ = (∠ADQ)/2 และ ∠AQB = (∠ADB)/2 <=> ∠ABQ = 12° และ ∠AQB = 18°
(3) กำหนดจุด R ใน ∆ABD ที่ทำให้ AB = AR = BR <=> ∆ABR เป็น ∆ด้านเท่า => ∠BAR = 60° (<=> ∠DAR = 12°), ∠ABR = 60° (<=> ∠DBR = 12°) และ ∠ARB = 60°
สังเกตว่า ∆BDR ≅ ∆ABQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BR = AB, ∠DBR = ∠ABQ, BD = BQ) => ∠BDR = ∠AQB <=> ∠BDR = 18°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า DR = AQ <=> DR = CD <=> ∆CDR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 96°) เป็นมุมยอด <=> ∠DCR (= ∠CRD) = 42° <=> ∠BCR = 36° <=> ∠BCR = ∠CBR <=> ∆BCR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด <=> BR = CR
(4) สังเกตว่า AR = BR = CR <=> จุด R เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่มี ∆ABC แนบใน => ∠ACB = (∠ARB)/2 <=> ∠ACB = 30° <=> ∠ACR = 6°
∵ AR = CR <=> ∆ACR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠R เป็นมุมยอด <=> ∠CAR = ∠ACR <=> ∠CAR = 6°
พิจารณา ∆ADP จะได้ว่า ∠APB = x = 54° Q.E.D.