โจทย์
จงพิสูจน์ว่า x = 2α
พิสูจน์ (โดยคุณ Juan Carlos Rodriguez Diaz)
(1) ∠CBD = 90° - α
(2) ต่อ BC ออกไปยังจุด Q โดยที่ BQ = AQ ⇔ ∆ABQ เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q เป็นมุมยอด ⇔ ∠BAQ = ∠ABQ ⇔ ∠BAQ = 90° - α ⇔ ∠AQB = 2α
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CAQ = 30°
(3) ต่อ AP ออกไปยังจุด R โดยที่ AR = AQ
จะเห็นว่า ∆ACR ≅ ∆ACQ ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AR = AQ, ∠CAR = ∠CAQ, AC = AC) ⇒ ∠ARC = ∠AQC ⇔ ∠ARC = 2α
∵ AQ = AR และ ∠QAR = 60° ⇒ ∆AQR เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ ∠AQR = 60° (⇔ ∠BQR = 60° - 2α) และ ∠ARQ = 60°
นอกจากนั้น ยังได้ว่า QR = AQ ⇔ QR = BQ ⇔ ∆BQR เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠Q (= 60° - 2α) เป็นมุมยอด ⇔ ∠BRQ (= ∠QBR) = 60° + α ⇔ ∠BRP = α ⇔ ∠BRP = ∠BCP ⇔ ☐BPCR สามารถแนบในวงกลมได้ ⇔ ∠CBP = ∠CRP ⇔ x = 2α Q.E.D.