โจทย์ 1
กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า x = 120° - 2α
พิสูจน์
(1) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = CP
สังเกตว่า ∆CDP ≅ ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (CD = AD, CP = AP, DP = DP) ⇒ ∠DCP = ∠DAP ⇔ ∠DCP = α ⇔ ∠BCP = α
(2) สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (BC = CD, ∠BCP = ∠DCP, CP = CP)
∴ ∆ADP ≅ ∆BCP ≅ ∆CDP ⇒ ∠APD = ∠BPC = ∠CPD
∵ ∠APD + ∠BPC + ∠CPD = 360° ⇒ ∠APD = 120° และ ∠CPD = 120°
พิจารณา ∆ADP และ ∆CDP จะได้ว่า ∠ADP = 60° - α และ ∠CDP = 60° - α ⇒ ∠ADC = x = 120° - 2α Q.E.D.
โจทย์ 2
กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า AD = BC = CD
พิสูจน์
(1) ต่อ AB ออกไปยังจุด P โดยที่ AP = CP
สังเกตว่า ∆CDP ≅ ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (CD = AD, CP = AP, DP = DP) ⇒ ∠DCP = ∠DAP ⇔ ∠DCP = α ⇔ ∠BCP = α
นอกจากนั้น ยังได้ว่า ∠CDP = ∠ADP
∵ ∠ADP + ∠CDP = 120° - 2α ⇔ ∠ADP = 60° - α และ ∠CDP = 60° - α
พิจารณา ∆ADP และ ∆CDP จะได้ว่า ∠APD = 120° และ ∠CPD = 120°
∵ ∠APD + ∠BPC + ∠CPD = 360° ⇒ ∠BPC = 120°
(2) สังเกตว่า ∆BCP ≅ ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ม-ด-ม (∠BCP = ∠DCP, CP = CP, ∠BPC = ∠CPD) ⇒ BC = CD
∴ AD = BC = CD Q.E.D.
โจทย์ 3
กำหนดให้ ☐ABCD เป็นสี่เหลี่ยมเว้า
จงพิสูจน์ว่า x = α
พิสูจน์
(1) ∵ AD = CD ⇔ ∆ACD เป็น ∆หน้าจั่ว ที่มี ∠D (= 120° - 2α) เป็นมุมยอด ⇔ ∠CAD = 30° + α และ ∠ACD = 30° + α (⇔ ∠ACB = 30° - α)
(2) กำหนดจุด P เหนือ AC ที่ทำให้ AP = CP = AC ⇔ ∆ACP เป็น ∆ด้านเท่า ⇒ ∠ACP = 60° (⇔ ∠DCP = 30° - α) และ ∠APC = 60°
จะเห็นว่า ∆CDP ≅ ∆ADP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ด-ด (CD = AD, CP = AP, DP = DP) ⇒ ∠CPD = ∠APD = (∠APC)/2 = 30°
(3) สังเกตว่า ∆ABC ≅ ∆CDP ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด-ม-ด (AC = CP, ∠ACB = ∠DCP, BC = CD) ⇒ ∠BAC = ∠CPD ⇔ ∠BAC = 30° ⇔ ∠BAD = x = α Q.E.D.
ผู้ติดตามบล็อก : 20 คน [