ปีแยร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat, 1601 - 1665)

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ : ไม่มีจำนวนเต็มบวก x, y, z ใด ๆ ที่ทำให้ xⁿ + yⁿ = zⁿ เมื่อ n > 2 ทฤษฎีบทนี้ (หรือนักคณิตศาสตร์บางคนเรียกว่า “ข้อคาดเดาของแฟร์มาต์”) แฟร์มาต์ (1601 – 65) เป็นคนคิดขึ้น ซึ่งท้าทายความคิดของนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกมากว่า 350 ปี ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1637 โดยเขาได้เขียนไว้ที่ริมหน้ากระดาษของหนังสือว่า “ข้าพเจ้าได้พบบทพิสูจน์ที่นับว่ามหัศจรรย์ยิ่ง แต่ไม่สามารถจะเขียนบทพิสูจน์นี้ลงไปในที่ว่างเล็ก ๆ นี้ได้” แต่ความเป็นจริงก็คือ แฟร์มาต์มีชีวิตอยู่ต่อมาอีก 28 ปี แต่เขาก็แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทนี้เป็นจริงเพียงแค่กรณี n = 4 เท่านั้น ทำให้นักคณิตศาสตร์ในยุคหลัง ๆ ต่างลงความเห็นว่าเขาไม่ได้มีวิธีพิสูจน์อย่างที่เขาบอกแต่อย่างไร

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler, 1707 – 1783)

ในปี 1742 Euler ได้พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้และก็สำเร็จเพียงกรณี n = 3 ส่วนกรณีอื่น ๆ ไม่สามารถทำได้ เขาถึงกับรู้สึกรำคาญและหงุดหงิดถึงขนาดขอร้องให้เพื่อนไปค้นบ้านแฟร์มาต์เพื่อหากระดาษที่เขาเขียนพิสูจน์แต่ก็ไม่พบ ส่วน Guass ก็สามารถพิสูจน์ได้เพียงกรณี n = 4 ส่วนกรณีอื่น ๆ ไม่สามารถทำได้ถึงขนาดบอกว่าเขาก็สามารถตั้งทฤษฎีบทที่ยาก ๆ ที่ไม่มีใครพิสูจน์ได้เช่นกัน ส่วน Hilbert นั้นไม่เคยคิดที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เขากล่าวว่าถ้าจะพิสูจน์เขาต้องเตรียมตัวนาน 3 ปี เพื่อทำความรู้จักกับเทคนิคและวิธีการพิสูจน์เพื่อเป็นพื้นฐาน ถึงกระนั้นเขาก็ไม่แน่ใจว่าเขาจะพิสูจน์ได้  ปี 1918 Wolfskehl ได้ยกมรดก 1 แสนมาร์กให้แก่ใครก็ตามที่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้ เพราะเขาเองก็เคยคิดจะฆ่าตัวตายแต่เมื่อได้รู้จักกับทฤษฎีบทนี้และเกิดลุ่มหลงอย่างหนักจึงลืมที่คิดฆ่าตัวตาย เมื่อรู้สึกตัวจึงรู้สึกเป็นหนี้บุญคุณทฤษฎีบทนี้จึงมอบมรดกเป็นรางวัลเพื่อทดแทนบุญคุณทฤษฎีบทนี้ที่ทำให้เขาไม่ตายไปก่อนวัยอันควร

ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์จะไม่ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เลยก็ตามแต่ความพยายามนั้นก็หาได้สูญเปล่าไม่ ความพยายามเหล่านี้ยังสามารถช่วยเปิดสาขาใหม่ ๆ ของคณิตศาสตร์ได้ และช่วยพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ได้มากทีเดียว

ปี 1991 Buhler, Crandall and Sompolski ได้ใช้คอมพิวเตอร์คำนวณและพบว่าทฤษฎีบทนี้เป็นจริงเมื่อ n < 1,000,000

แอนดรูว์ เจมส์ ไวลส์ (Andrew J. Wiles (1953 - )

กระทั่งวันที่ 23 มิถุนายม 1993 Andrew J. Wiles (1953 -    ) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษประกาศว่าเขาประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้แล้ว หนังสือพิมพ์ New York Times ถึงกับพาดหัวข่าวว่า “Eureka” เพื่อยกย่องความสำเร็จของเขา แต่เมื่อได้รับการตรวจก็พบข้อบกพร่องและเขาก็ได้เอาไปแก้ไขอีก 14 เดือน กระทั้งสำเร็จเมื่อ วันที่ 19 กันยายน 1994 ซึ่งนับว่าวันนี้เป็นวันสุดท้ายของความยากและเป็นอันยุติปัญหาของทฤษฎีบทนี้  เขาเปรียบเทียบการทำงานของเขาไว้ว่า

“เสมือนหนึ่งเขาเดินเข้าไปยังคฤหาสถ์หลังใหญ่ที่มืดสนิท เมื่อเดินเข้าไปยังห้องแรกเขาเดินสะดุดเฟอร์นิเจอร์ต่าง ๆ แต่พอเวลาผ่านไประยะหนึ่งเขาก็เริ่มรู้ว่าเฟอร์นิเจอร์ต่าง ๆ อยู่ตรงไหน หลังจากนั้นประมาณ 6 เดือน เขาก็พบสวิตซ์ไฟฟ้าในห้องเมื่อเปิดสวิตซ์เขาก็รู้ว่ายืนอยู่ที่ใดของห้อง  และในห้องนั้นมีอะไรบ้าง จากห้องแรกก็เดินสู่ห้องที่สอง ในบางทีจะต้องใช้เวลาในการสำรวจนาน บางห้องใช้เวลาสั้น เขาสำรวจเช่นนี้จนครบทุกห้องและเมื่อเปิดสวิตซ์ไฟฟ้าทั้งบ้าน ก็เหมือนกับเขาพบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในที่สุด”

เขาอุปมาการพิสูจน์ของเขาเหมือนกับการล้มของตัวโดมิโนที่วางเรียงกันแต่ไม่รู้จบ หากล้มตัวแรก ตัวที่สอง, สาม, สี่, …ก็จะล้มตามไปด้วยซึ่งก็เหมือนกับว่าพิสูจน์กรณี n = 3, 4, … ดังนั้นไม่ว่า n จะเป็นจำนวนใด ๆ ก็จะจริงหมด

Wiles ชอบคณิตศาสตร์มาตั้งแต่เด็ก เขารู้จักทฤษฎีบทนี้ตั้งแต่อายุ 10 ขวบ ซึ่งเขาตั้งใจว่าสักวันหนึ่งเขาจะพิสูจน์ทฤษฎีบทให้ได้ ซึ่งครูที่สอนคณิตศาสตร์ก็เตือนว่าให้เขาเลิกล้มความตั้งใจนี้เสียเพราะมันเป็นไปไม่ได้ แต่เขาก็ไม่ยอมทิ้งความตั้งใจ เขาเริ่มพิสูจน์เมื่อเป็นวัยรุ่นเมื่อเข้าเรียนมหาวิทยาลัยแล้ว มีคนคิดเกี่ยวกับปัญหานี้มากมายในช่วงศตวรรษที่ 18-19 และเขาก็กำลังศึกษาวิธีการแก้อยู่แต่ยังทำไม่ได้แต่เขาก็ไม่เคยคิดเลิกล้ม และพยายามหาเทคนิคมาใช้ในการแก้ปัญหา กระทั่งเย็นวันหนึ่งระหว่างที่เขากำลังคุยกับเพื่อนอยู่เพื่อนของเขาก็พูดว่า Ken Ribet เชื่อมโยงข้อคาดเดาของตานิยามา – ชิมูระ (Taniyama-Shimura Conjecture) กับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เขาเหมือนกับถูกสะกด และเขารู้ว่าขณะนั้นชีวิตเขาได้เปลี่ยนไปแล้ว และเขามุ่งมั่นที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ให้ได้และเขาก็ได้ตัดสินใจทำงานนี้ต่อโดยไม่บอกให้ใครรู้นอกจากภรรยาซึ่งก็มารู้ตอนที่ไปดื่มน้ำผึ้งพระจันทร์กันนั่นเอง

ปัญหานี้อยู่ในความคิดเขาตลอดเวลาเมื่อเขาตื่นมาตอนเช้ามันก็เป็นสิ่งแรกที่เขาคิด เขาคิดทั้งวันจนถึงเวลานอน มันอยู่ในใจเขาตลอดเวลา นอกจากเวลาที่เขาอยู่กับลูกๆ เท่านั้น เพราะเด็ก ๆ ไม่สนใจแฟร์มาต์ เด็ก ๆ ต้องการเพียงแค่ฟังนิทานและให้พ่ออยู่ด้วยเท่านั้น บางครั้งเวลาที่เขาเครียดเขาก็จะออกไปเดินเล่นในขณะที่จิตใต้สำนึกทำงาน ถึงจะไม่ได้อยู่ที่โต๊ะทำงานแต่เขาก็มีกระดาษกับดินสอเตรียมพร้อมไว้เสมอถ้าเกิดคิดขึ้นมาได้ก็จะนั่งลงเขียนได้ทันที

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้มีความยาว 200 หน้าและเขาทำอย่างละเอียดและรอบคอบทุกขั้นตอน  วิธีคิดของเขาลึกล้ำและสวยงาม  อีกทั้งยังได้บุกเบิกวิทยาการใหม่ ๆ จากความสำเร็จนี่เองทำให้ Wiles ได้รับรางวัลและเกียรติยศต่าง ๆ มากมาย ในปี 1996 เขาได้รับรางวัล Fields ซึ่งถือว่าเป็นรางวัลโนเบลสาขาคณิตศาสตร์ และยังได้รับรางวัล Wolfskehl รวมไปถึงการได้รับพระราชทานเครื่องราชอิสริยาภรณ์จากสมเด็จพระบรมราชินีนาถเอลิซาเบธที่ 2 ซึ่งทำให้เขามีคำหน้าว่า “Sir” ด้วย

ถึงแม้ว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์แล้วแต่ก็มีนักคณิตศาสตร์อีกหลายคิดที่คิดว่าวิธีพิสูจน์นี้มีความยาว และยุ่งยาก และคิดว่าทฤษฎีบทคงจะมีวิธีการพิสูจน์ที่สั้นกว่านี้ ซึ่งนี้ก็เป็นปัญหาหนึ่งของนักคณิตศาสตร์ในอนาคตที่จะต้องคิดกันต่อไป และในปี 1997 Simon Singh ก็ได้เขียนหนังสือชื่อ Fermat’s Enigma: The Epic Quest to solve the World’s Greatest Mathematical Problem ซึ่งกล่าวถึงชีวิตและจิตวิญญาณในการทำงานของนักคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ที่ได้ทุ่มเทให้กับการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อย่างจับใจทีเดียว

ปก Fermat’s Enigma: The Epic Quest to solve the World’s Greatest Mathematical Problem

หนังสืออีกเล่าที่เล่าถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

• จอห์น แนช ผู้ชายหลายมิติ A beautiful Mind

• พอล แอร์ดิช ผู้ชายที่หลงรักตัวเลข (The man who Loved only Numbers)

• รามานุจัน อัจฉริยะไม่รู้จบ (The Man Who knows Infinity)

Create Date : 03 เมษายน 2553
Last Update : 4 เมษายน 2553 0:09:33 น.		1 comments
Counter : 5018 Pageviews.
Share Tweet