จงพิสูจน์ว่า (cosθ + isinθ)^n = cos(nθ) + isin(nθ) เป็นจริง

โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม และ i เป็น หน่วยจินตภาพ

วิธีทำ ใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์

โดย ถ้าแทน n = 0 จะได้ว่า 1 = 1 เป็นจริง

แล้วถ้า n = k เป็นจริงแล้ว

(cosθ + isinθ)^k+1 = (cosθ + isinθ)^k (cosθ + isinθ)

                        = (cos(kθ) + isin(kθ))(cosθ + isinθ)

                        = cos(kθ)cosθ - sin(kθ)sinθ + i(cos(kθ)sinθ + sin(kθ)cosθ)

                        = cos((k+1)θ) + isin((k+1)θ)

n = k+1 เป็นจริงด้วย

และเรายังรู้ว่า  cosθ กับ sinθ ไม่มีทางเป็น 0 พร้อมกัน ดังนั้น cosθ + isinθ ≠ 0

เราจึงใช้ cosθ + isinθ หาร (cosθ + isinθ)^k  ได้

(cosθ + isinθ)^k-1 = (cosθ + isinθ)^k / (cosθ + isinθ)

คูณด้วย  (cosθ - isinθ) ทั้งเศษและส่วน

= (cos(kθ) + isin(kθ))(cosθ - isinθ) / {(cosθ + isinθ)(cosθ - isinθ)}

= (cos(kθ) + isin(kθ))(cosθ - isinθ) / (cos²θ + sin²θ)

= (cos(kθ) + isin(kθ))(cosθ - isinθ)

= (cosθcos(kθ) + sinθsin(kθ)) + i(sin(kθ)cosθ - cos(kθ)sinθ)

= cos((k-1)θ) + isin((k-1)θ)

n = k-1 เป็นจริงด้วย

สรุปได้ว่า (cosθ + isinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ) เป็นจริง  จบ

ที่มา ข้อสอบเข้า Keio University ปี 1982  

Create Date : 26 กันยายน 2553		0 comments
Last Update : 26 กันยายน 2553 21:16:33 น.
Counter : 813 Pageviews.
Share Tweet