C(40, 20) หารด้วย 41 เหลือเศษเท่าไหร่?
วิธีทำ 40C20 = (40*39*38*...*22*21 )/20! = (41-1)(41-2)(41-3)...(41-20)/20! สังเกตว่า (41-1)(41-2)(41-3)...(41-20) สามารถจัดให้อยู่ในรูปง่ายๆได้ = 41A + 20! โดยที่ A เป็นจำนวนเต็ม (ที่เรายังไม่รู้ค่าแต่มันต้องเป็นจำนวนเต็มแน่) (ลองคูณวงเล็บข้างบนคร่าวๆทุกพจน์จะมี 41 เป็นตัวประกอบ ยกเว้นพจน์สุดท้าย ซึ่งพจน์สุดท้ายดูคร่าวๆจะเห็นแนวโน้มว่าเท่ากับ -1*-2*-3*...*-20 = 1*2*3...*20 นั่นเอง) ดังนั้น 40C20 = (41A + 20!)/20! = 41A/20! + 1 เนื่องจาก 40C20 เป็นจำนวนเต็ม และเนื่องจาก 41 กับ 20! เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จึงทำให้ A ต้องหารด้วย 20! ลงตัว แสดงว่าต้องมีจำนวนเต็ม B โดยที่ B = A/20! ดังนั้น 40C20 = 41B + 1 นั่นคือ 40C20 หารด้วย 41 จะเหลือเศษ 1 นั่นเอง จบ ที่มา: ข้อสอบรอบคัดเลือก Japan Mathematical Olympiad (JMO) รอบคัดเลือก ปี 2000 ข้อ 8
Create Date : 18 กันยายน 2553 |
Last Update : 19 กันยายน 2553 12:34:05 น. |
|
0 comments
|
Counter : 443 Pageviews. |
|
|