โจทย์เปรียบเทียบความสัมพันธ์มากน้อยของจำนวน 2 จำนวน

(1) ถ้า x เป็นจำนวนจริงบวกแล้ว จงหาความสัมพันธ์มากกว่าน้อยกว่าระหว่าง log(1 + (1/x)) กับ 1/(x+1)

(2) จงหาความสัมพันธ์มากกว่าน้อยกว่าระหว่าง (1 + (2001/2002))^(2002/2001) กับ (1 + (2002/2001))^(2001/2002)

หมายเหตุ log(x) ในที่นี้คือ natural logarithm

--------------------------------------------------------

วิธีทำ

(1) ให้ f(x) = log(1 + (1/x)) - 1/(x + 1) = log(x + 1) - log(x) - 1/(x + 1)

f'(x) = 1/(x + 1) - 1/x + 1/(x + 1)² = -1/(x(x + 1))² < 0 (น้อยกว่า 0 เพราะ x เป็นจำนวนจริงบวก)

แสดงว่า f(x) เมื่อ x > 0 จะมีค่าน้อยลงเรื่อยๆ (A monotonically decreasing function)

ดังนั้น lim _x∞ f(x) = 0 นั่นคือ f(x) > 0 (ลดลงเรื่อยๆแล้วเข้าใกล้ 0 นั่นคือมากกว่า 0)

ดังนั้น สรุปได้ว่า log(1 + (1/x)) > 1/(x + 1)

(2) ให้ g(x) = log(1 + (1/x))^x = x*log(1 + (1/x)) = x{log(x + 1) - log(x)}

จากข้อ (1) g'(x) = log(x + 1) + x/(x + 1) - log(x) - 1 = log(1 + (1/x)) - 1/(x + 1) > 0 (มากกว่า 0 เพราะจาก (1))

แสดงว่า g(x) เมื่อ x > 0 จะมีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ (A monotonically increasing function)

จาก (2001/2002) < (2002/2001) จึงทำให้ g(2001/2002) < g(2002/2001) นั่นคือ

log(1 + (2002/2001))^(2001/2002)  < log(1 + (2001/2002))^(2002/2001)

ดังนั้น สรุปได้ว่า (1 + (2002/2001))^(2001/2002)  < (1 + (2001/2002))^(2002/2001)  จบ

ที่มา:  ข้อสอบเข้า Nagoya University ปี 2002 ครึ่งแรก สายวิทย์ ข้อ 1 ใหญ่ (มี 2 ข้อย่อย) 

Create Date : 14 กันยายน 2553		1 comments
Last Update : 19 กันยายน 2553 12:33:10 น.
Counter : 404 Pageviews.
Share Tweet