1<=เลขคี่<=100 ทั้งหมดคูณกัน ได้ค่าๆนึง ถามว่าเลข3หลักสุดท้ายของค่านั้นคือ?

หัวข้ออาจจะพูดไม่ชัดเจน งั้นเอาใหม่ๆ Smiley


โจทย์ ให้เอาเลขคี่ทั้งหมดที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ1 และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 100 มาคูณกัน


แล้วจะได้ค่าๆนึง ถามว่าเลขสามหลักสุดท้าย(ร้อย สิบ หน่วย) ของค่าๆนั้น คืออะไร



วิธีทำ สมมุติให้ N เท่ากับ 1*3*5*...*99


จาก 1 ถึง 99 มีจำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัวมากกว่า 3 ตัว แสดงว่า N หารด้วย 125 ลงตัว


เนื่องจาก 125*8 = 1000 (ต้องคูณน้อยกว่า 8 ถึงจะได้ผลลัพธ์เป็นเลขสามหลัก)


และเพราะ ตัวที่คูณด้วยเป็นเลขคี่ ดังนั้นเลข 3 หลักสุดท้ายมีสิทธ์เป็น


125*1 = 125, 125*3 = 375, 125*5 = 625, 125*7 = 875 แค่ 4 แบบเท่านั้น


จากนั้นลองเอาเลข 8 มาหารเลขคี่ที่อยู่ติดกัน 4 ตัวคูณกัน จะเหลือเศษ 1


พิสูจน์ ให้เลขคี่ที่อยู่ติดกัน 4 ตัว คือ 2n-3, 2n-1, 2n+1, 2n+3 (n เป็นจำนวนเต็มมากกว่าหรือเท่ากับ 2)


เอาเลขคี่ 4 ตัวมาคูณกันได้  (2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3) = 16n4 -40n2 + 9 = 8(2n4-5n2+1) + 1


จะเห็นว่า เลขคี่ที่อยู่ติดกัน 4 ตัวคูณกัน แล้วเอา 8 มาหาร จะเหลือเศษ 1


แสดงว่า


(1)เลขคี่ตั้งแต่ 1 ถึง 7 คูณกัน แล้วหารด้วย 8 จะเหลือเศษ 1


(2)เลขคี่ตั้งแต่ 9 ถึง 15 คูณกัน แล้วหารด้วย 8 จะเหลือเศษ 1


.


.


.


(12)เลขคี่ตั้งแต่ 89 ถึง 95 คูณกัน แล้วหารด้วย 8 จะเหลือเศษ 1


คือมี 12 ชุด ที่หารด้วย 8 แล้วเหลือเศษ 1 แสดงว่า 1*3*5*...*91*93*95 หารด้วย 8 จะเหลือเศษ 112 = 1 นั่นเอง


ส่วน 97 หารด้วย 8 จะเหลือเศษ 1 และ 99 หารด้วย 8 จะเหลือเศษ 3


แสดงว่าเลขคี่ตั้งแต่ 1 ถึง 99 คูณกัน แล้วหารด้วย 8 จะเหลือเศษ 1*1*3 = 3 นั่นเอง 


เนื่องจาก 1000 หารด้วย 8 ลงตัว ฉะนั้นเลขท้าย 3 ตัวของ N จะต้องหารด้วย 8 แล้วเหลือเศษ 3


พิจารณาทั้ง 4 ตัว  125, 375, 625, 875 มีตัวเดียวเท่านั้นที่เข้าเกณฑ์นั่นคือ 875


ตอบ เลขท้าย 3 ตัว ประจำงวดนี้คือ 875 จบ



ที่มา: ข้อสอบรอบคัดเลือก Japan Junior Mathematical Olympiad (JJMO) รอบคัดเลือก ปี 2009 ข้อ 8


ลิงค์ที่คิดว่ามีประโยชน์: ความรู้เบื้องต้นเรื่อง mod





 

Create Date : 20 กันยายน 2553
1 comments
Last Update : 20 กันยายน 2553 1:00:29 น.
Counter : 4897 Pageviews.

 

เยี่ยมมากครับ

 

โดย: Dherapol IP: 125.27.171.22 20 กันยายน 2553 16:41:47 น.  

ชื่อ :
Comment :
  *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 


jesus_god
Location :


[ดู Profile ทั้งหมด]

ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed

ผู้ติดตามบล็อก : 1 คน [?]




Group Blog
 
 
กันยายน 2553
 
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930 
 
20 กันยายน 2553
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add jesus_god's blog to your web]
Links
 

 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.