1<=เลขคี่<=100 ทั้งหมดคูณกัน ได้ค่าๆนึง ถามว่าเลข3หลักสุดท้ายของค่านั้นคือ?
หัวข้ออาจจะพูดไม่ชัดเจน งั้นเอาใหม่ๆ โจทย์ ให้เอาเลขคี่ทั้งหมดที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ1 และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 100 มาคูณกัน แล้วจะได้ค่าๆนึง ถามว่าเลขสามหลักสุดท้าย(ร้อย สิบ หน่วย) ของค่าๆนั้น คืออะไร วิธีทำ สมมุติให้ N เท่ากับ 1*3*5*...*99 จาก 1 ถึง 99 มีจำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัวมากกว่า 3 ตัว แสดงว่า N หารด้วย 125 ลงตัว เนื่องจาก 125*8 = 1000 (ต้องคูณน้อยกว่า 8 ถึงจะได้ผลลัพธ์เป็นเลขสามหลัก) และเพราะ ตัวที่คูณด้วยเป็นเลขคี่ ดังนั้นเลข 3 หลักสุดท้ายมีสิทธ์เป็น 125*1 = 125, 125*3 = 375, 125*5 = 625, 125*7 = 875 แค่ 4 แบบเท่านั้น จากนั้นลองเอาเลข 8 มาหารเลขคี่ที่อยู่ติดกัน 4 ตัวคูณกัน จะเหลือเศษ 1 พิสูจน์ ให้เลขคี่ที่อยู่ติดกัน 4 ตัว คือ 2n-3, 2n-1, 2n+1, 2n+3 (n เป็นจำนวนเต็มมากกว่าหรือเท่ากับ 2) เอาเลขคี่ 4 ตัวมาคูณกันได้ (2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3) = 16n4 -40n2 + 9 = 8(2n4-5n2+1) + 1 จะเห็นว่า เลขคี่ที่อยู่ติดกัน 4 ตัวคูณกัน แล้วเอา 8 มาหาร จะเหลือเศษ 1 แสดงว่า (1)เลขคี่ตั้งแต่ 1 ถึง 7 คูณกัน แล้วหารด้วย 8 จะเหลือเศษ 1 (2)เลขคี่ตั้งแต่ 9 ถึง 15 คูณกัน แล้วหารด้วย 8 จะเหลือเศษ 1 . . . (12)เลขคี่ตั้งแต่ 89 ถึง 95 คูณกัน แล้วหารด้วย 8 จะเหลือเศษ 1 คือมี 12 ชุด ที่หารด้วย 8 แล้วเหลือเศษ 1 แสดงว่า 1*3*5*...*91*93*95 หารด้วย 8 จะเหลือเศษ 112 = 1 นั่นเอง ส่วน 97 หารด้วย 8 จะเหลือเศษ 1 และ 99 หารด้วย 8 จะเหลือเศษ 3 แสดงว่าเลขคี่ตั้งแต่ 1 ถึง 99 คูณกัน แล้วหารด้วย 8 จะเหลือเศษ 1*1*3 = 3 นั่นเอง เนื่องจาก 1000 หารด้วย 8 ลงตัว ฉะนั้นเลขท้าย 3 ตัวของ N จะต้องหารด้วย 8 แล้วเหลือเศษ 3 พิจารณาทั้ง 4 ตัว 125, 375, 625, 875 มีตัวเดียวเท่านั้นที่เข้าเกณฑ์นั่นคือ 875 ตอบ เลขท้าย 3 ตัว ประจำงวดนี้คือ 875 จบ ที่มา: ข้อสอบรอบคัดเลือก Japan Junior Mathematical Olympiad (JJMO) รอบคัดเลือก ปี 2009 ข้อ 8 ลิงค์ที่คิดว่ามีประโยชน์: ความรู้เบื้องต้นเรื่อง mod
Create Date : 20 กันยายน 2553 |
|
1 comments |
Last Update : 20 กันยายน 2553 1:00:29 น. |
Counter : 4897 Pageviews. |
|
|
|