C(40, 20) หารด้วย 41 เหลือเศษเท่าไหร่?

วิธีทำ

₄₀C₂₀ = (40*39*38*...*22*21 )/20!

        = (41-1)(41-2)(41-3)...(41-20)/20! 

สังเกตว่า (41-1)(41-2)(41-3)...(41-20) สามารถจัดให้อยู่ในรูปง่ายๆได้

= 41A + 20! โดยที่ A เป็นจำนวนเต็ม (ที่เรายังไม่รู้ค่าแต่มันต้องเป็นจำนวนเต็มแน่)  

(ลองคูณวงเล็บข้างบนคร่าวๆทุกพจน์จะมี 41 เป็นตัวประกอบ ยกเว้นพจน์สุดท้าย

ซึ่งพจน์สุดท้ายดูคร่าวๆจะเห็นแนวโน้มว่าเท่ากับ -1*-2*-3*...*-20 = 1*2*3...*20 นั่นเอง)

ดังนั้น ₄₀C₂₀ = (41A + 20!)/20! = 41A/20! + 1

เนื่องจาก ₄₀C₂₀ เป็นจำนวนเต็ม และเนื่องจาก 41 กับ 20! เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

จึงทำให้ A ต้องหารด้วย 20! ลงตัว แสดงว่าต้องมีจำนวนเต็ม B โดยที่ B = A/20!

ดังนั้น  ₄₀C₂₀ = 41B + 1

นั่นคือ  ₄₀C₂₀ หารด้วย 41 จะเหลือเศษ 1 นั่นเอง  จบ

ที่มา: ข้อสอบรอบคัดเลือก Japan Mathematical Olympiad (JMO) รอบคัดเลือก ปี 2000 ข้อ 8 

Create Date : 18 กันยายน 2553		0 comments
Last Update : 19 กันยายน 2553 12:34:05 น.
Counter : 442 Pageviews.
Share Tweet